Theorem caoprord 4042

Description: Convert an operation ordering law to class notation.

Hypotheses

Ref	Expression
caoprord.1	|- A e. V
caoprord.2	|- B e. V
caoprord.3	|- (z e. S -> (xRy <-> (zFx)R(zFy)))

Assertion

Ref	Expression
caoprord	|- (C e. S -> (ARB <-> (CFA)R(CFB)))

Distinct variable groups:   x,y,z,F   x,S,y,z   x,A,y,z   x,B,y,z   x,C,y,z   x,R,y,z

Proof of Theorem caoprord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3953	. . . 4 |- (z = C -> (zFA) = (CFA))
2		opreq1 3953	. . . 4 |- (z = C -> (zFB) = (CFB))
3	1, 2	breq12d 2621	. . 3 |- (z = C -> ((zFA)R(zFB) <-> (CFA)R(CFB)))
4	3	bibi2d 616	. 2 |- (z = C -> ((ARB <-> (zFA)R(zFB)) <-> (ARB <-> (CFA)R(CFB))))
5		caoprord.1	. . 3 |- A e. V
6		caoprord.2	. . 3 |- B e. V
7		breq1 2612	. . . . . 6 |- (x = A -> (xRy <-> ARy))
8		opreq2 3954	. . . . . . 7 |- (x = A -> (zFx) = (zFA))
9	8	breq1d 2619	. . . . . 6 |- (x = A -> ((zFx)R(zFy) <-> (zFA)R(zFy)))
10	7, 9	bibi12d 627	. . . . 5 |- (x = A -> ((xRy <-> (zFx)R(zFy)) <-> (ARy <-> (zFA)R(zFy))))
11		breq2 2613	. . . . . 6 |- (y = B -> (ARy <-> ARB))
12		opreq2 3954	. . . . . . 7 |- (y = B -> (zFy) = (zFB))
13	12	breq2d 2620	. . . . . 6 |- (y = B -> ((zFA)R(zFy) <-> (zFA)R(zFB)))
14	11, 13	bibi12d 627	. . . . 5 |- (y = B -> ((ARy <-> (zFA)R(zFy)) <-> (ARB <-> (zFA)R(zFB))))
15	10, 14	sylan9bb 538	. . . 4 |- ((x = A /\ y = B) -> ((xRy <-> (zFx)R(zFy)) <-> (ARB <-> (zFA)R(zFB))))
16	15	imbi2d 610	. . 3 |- ((x = A /\ y = B) -> ((z e. S -> (xRy <-> (zFx)R(zFy))) <-> (z e. S -> (ARB <-> (zFA)R(zFB)))))
17		caoprord.3	. . 3 |- (z e. S -> (xRy <-> (zFx)R(zFy)))
18	5, 6, 16, 17	vtocl2 1834	. 2 |- (z e. S -> (ARB <-> (zFA)R(zFB)))
19	4, 18	vtoclga 1843	1 |- (C e. S -> (ARB <-> (CFA)R(CFB)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  Vcvv 1802   class class class wbr 2609  (class class class)co 3948

This theorem is referenced by:  caoprord2 4043  caoprord3 4044  genpcl 5083

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-xp 3174  df-cnv 3176  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fv 3188  df-opr 3950

Copyright terms: Public domain