Theorem brsdom2 4461

Description: Alternate definition of strict dominance. Definition 3 of [Suppes] p. 97.

Hypotheses

Ref	Expression
brsdom2.1	|- A e. V
brsdom2.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
brsdom2	|- (A ~< B <-> (A ~<_ B /\ -. B ~<_ A))

Proof of Theorem brsdom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsdom2 4460	. . 3 |- ~< = ( ~<_ \ `' ~<_ )
2	1	eleq2i 1538	. 2 |- (<.A, B>. e. ~< <-> <.A, B>. e. ( ~<_ \ `' ~<_ ))
3		df-br 2620	. 2 |- (A ~< B <-> <.A, B>. e. ~< )
4		df-br 2620	. . . 4 |- (A ~<_ B <-> <.A, B>. e. ~<_ )
5		df-br 2620	. . . . . 6 |- (B ~<_ A <-> <.B, A>. e. ~<_ )
6		brsdom2.1	. . . . . . 7 |- A e. V
7		brsdom2.2	. . . . . . 7 |- B e. V
8	6, 7	opelcnv 3298	. . . . . 6 |- (<.A, B>. e. `' ~<_ <-> <.B, A>. e. ~<_ )
9	5, 8	bitr4 176	. . . . 5 |- (B ~<_ A <-> <.A, B>. e. `' ~<_ )
10	9	negbii 187	. . . 4 |- (-. B ~<_ A <-> -. <.A, B>. e. `' ~<_ )
11	4, 10	anbi12i 482	. . 3 |- ((A ~<_ B /\ -. B ~<_ A) <-> (<.A, B>. e. ~<_ /\ -. <.A, B>. e. `' ~<_ ))
12		eldif 2057	. . 3 |- (<.A, B>. e. ( ~<_ \ `' ~<_ ) <-> (<.A, B>. e. ~<_ /\ -. <.A, B>. e. `' ~<_ ))
13	11, 12	bitr4 176	. 2 |- ((A ~<_ B /\ -. B ~<_ A) <-> <.A, B>. e. ( ~<_ \ `' ~<_ ))
14	2, 3, 13	3bitr4 183	1 |- (A ~< B <-> (A ~<_ B /\ -. B ~<_ A))

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 958  Vcvv 1811   \ cdif 2044  <.cop 2411   class class class wbr 2619  `'ccnv 3169   ~<_ cdom 4365   ~< csdm 4366

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-er 4261  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370

Copyright terms: Public domain