Theorem breng 4375

Description: Equinumerosity relation.

Assertion

Ref	Expression
breng	|- (B e. C -> (A ~~ B <-> E.f f:A-1-1-onto->B))

Distinct variable groups:   A,f   B,f

Proof of Theorem breng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oeq2 3685	. . . . 5 |- (x = A -> (f:x-1-1-onto->y <-> f:A-1-1-onto->y))
2	1	exbidv 1279	. . . 4 |- (x = A -> (E.f f:x-1-1-onto->y <-> E.f f:A-1-1-onto->y))
3		f1oeq3 3686	. . . . 5 |- (y = B -> (f:A-1-1-onto->y <-> f:A-1-1-onto->B))
4	3	exbidv 1279	. . . 4 |- (y = B -> (E.f f:A-1-1-onto->y <-> E.f f:A-1-1-onto->B))
5		df-en 4368	. . . 4 |- ~~ = {<.x, y>. | E.f f:x-1-1-onto->y}
6	2, 4, 5	brabg 2818	. . 3 |- ((A e. V /\ B e. C) -> (A ~~ B <-> E.f f:A-1-1-onto->B))
7	6	ex 373	. 2 |- (A e. V -> (B e. C -> (A ~~ B <-> E.f f:A-1-1-onto->B)))
8		relen 4372	. . . . 5 |- Rel ~~
9	8	brrelexi 3208	. . . 4 |- (A ~~ B -> A e. V)
10		f1ofn 3690	. . . . . 6 |- (f:A-1-1-onto->B -> f Fn A)
11		fndm 3587	. . . . . . 7 |- (f Fn A -> dom f = A)
12		visset 1813	. . . . . . . 8 |- f e. V
13	12	dmex 3360	. . . . . . 7 |- dom f e. V
14	11, 13	syl6eqelr 1557	. . . . . 6 |- (f Fn A -> A e. V)
15	10, 14	syl 10	. . . . 5 |- (f:A-1-1-onto->B -> A e. V)
16	15	19.23aiv 1295	. . . 4 |- (E.f f:A-1-1-onto->B -> A e. V)
17	9, 16	pm5.21ni 678	. . 3 |- (-. A e. V -> (A ~~ B <-> E.f f:A-1-1-onto->B))
18	17	a1d 12	. 2 |- (-. A e. V -> (B e. C -> (A ~~ B <-> E.f f:A-1-1-onto->B)))
19	7, 18	pm2.61i 126	1 |- (B e. C -> (A ~~ B <-> E.f f:A-1-1-onto->B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  Vcvv 1811   class class class wbr 2619  dom cdm 3170   Fn wfn 3177  -1-1-onto->wf1o 3181   ~~ cen 4364

This theorem is referenced by:  bren 4377  enrefg 4390  f1oen2g 4394  unen 4434  ssfi 4537  ssfiOLD 4538  homcard 10539  homcardus 10540

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-dm 3188  df-rn 3189  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-en 4368

Copyright terms: Public domain