Theorem bren 4368

Description: Equinumerosity relation. Compare Definition of [Enderton] p. 129.

Hypothesis

Ref	Expression
bren.1	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
bren	|- (A ~~ B <-> E.f f:A-1-1-onto->B)

Distinct variable groups:   A,f   B,f

Proof of Theorem bren

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bren.1	. 2 |- B e. V
2		breng 4366	. 2 |- (B e. V -> (A ~~ B <-> E.f f:A-1-1-onto->B))
3	1, 2	ax-mp 7	1 |- (A ~~ B <-> E.f f:A-1-1-onto->B)

Syntax hints:   <-> wb 146   e. wcel 957  E.wex 979  Vcvv 1808   class class class wbr 2615  -1-1-onto->wf1o 3177   ~~ cen 4357

This theorem is referenced by:  domen 4370  ener 4400  en0 4413  ensn1 4414  en1 4416  canth2 4473  mapen 4480  ssenen 4493  phplem4 4500  php3 4504  ssfi 4524  unfilem3 4535  unifi 4541  fiint 4543  fodomfi 4549  numth2 4768  ruc 7509  infxpidmlem10 7521  infxpidmlem12 7523  infmap2lem1 7539

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-sep 2699  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-v 1809  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-op 2413  df-uni 2500  df-br 2616  df-opab 2663  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-dm 3184  df-rn 3185  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-en 4360

Copyright terms: Public domain