Theorem brdom2 4388

Description: Dominance in terms of strict dominance and equinumerosity. Theorem 22(iv) of [Suppes] p. 97.

Assertion

Ref	Expression
brdom2	|- (A ~<_ B <-> (A ~< B \/ A ~~ B))

Proof of Theorem brdom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdom2 4384	. . 3 |- ~<_ = ( ~< u. ~~ )
2	1	eleq2i 1538	. 2 |- (<.A, B>. e. ~<_ <-> <.A, B>. e. ( ~< u. ~~ ))
3		df-br 2620	. 2 |- (A ~<_ B <-> <.A, B>. e. ~<_ )
4		df-br 2620	. . . 4 |- (A ~< B <-> <.A, B>. e. ~< )
5		df-br 2620	. . . 4 |- (A ~~ B <-> <.A, B>. e. ~~ )
6	4, 5	orbi12i 257	. . 3 |- ((A ~< B \/ A ~~ B) <-> (<.A, B>. e. ~< \/ <.A, B>. e. ~~ ))
7		elun 2173	. . 3 |- (<.A, B>. e. ( ~< u. ~~ ) <-> (<.A, B>. e. ~< \/ <.A, B>. e. ~~ ))
8	6, 7	bitr4 176	. 2 |- ((A ~< B \/ A ~~ B) <-> <.A, B>. e. ( ~< u. ~~ ))
9	2, 3, 8	3bitr4 183	1 |- (A ~<_ B <-> (A ~< B \/ A ~~ B))

Syntax hints:   <-> wb 146   \/ wo 222   e. wcel 958   u. cun 2045  <.cop 2411   class class class wbr 2619   ~~ cen 4364   ~<_ cdom 4365   ~< csdm 4366

This theorem is referenced by:  bren2 4389  domnsym 4463  sdomdomtr 4469  domsdomtr 4476  carddom 4836  entri 4839  entri2 4840

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-rel 3185  df-f1o 3197  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370

Copyright terms: Public domain