Theorem bravalvalt 9807

Description: A bra-ket juxtaposition, expressed as <.A | B>. in Dirac notation, equals the inner product of the vectors. Based on definition of bra in [Prugovecki] p. 186.

Assertion

Ref	Expression
bravalvalt	|- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> ((bra` A)` B) = (B .ih A))

Proof of Theorem bravalvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bravalt 9806	. . 3 |- (A e. H~ -> (bra` A) = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih A))})
2	1	fveq1d 3717	. 2 |- (A e. H~ -> ((bra` A)` B) = ({<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih A))}` B))
3		opreq1 3959	. . 3 |- (x = B -> (x .ih A) = (B .ih A))
4		eqid 1473	. . 3 |- {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih A))} = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih A))}
5		oprex 3974	. . 3 |- (B .ih A) e. V
6	3, 4, 5	fvopab4 3771	. 2 |- (B e. H~ -> ({<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih A))}` B) = (B .ih A))
7	2, 6	sylan9eq 1524	1 |- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> ((bra` A)` B) = (B .ih A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  {copab 2661  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  H~chil 8727   .ih csp 8732  bracbr 8764

This theorem is referenced by:  braaddt 9808  bramult 9809  brafnmult 9814  branmfnt 9976  bra11 9979  cnvbravalt 9981  kbass1t 9987  kbass2t 9988  kbass6t 9992

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-hilex 8808

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-fv 3193  df-opr 3956  df-bra 9716

Copyright terms: Public domain