Theorem bravalt 9783

Description: The bra of a vector, expressed as <.A | in Dirac notation. See df-bra 9693.

Assertion

Ref	Expression
bravalt	|- (A e. H~ -> (bra` A) = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih A))})

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem bravalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 3954	. . . . 5 |- (z = A -> (x .ih z) = (x .ih A))
2	1	eqeq2d 1478	. . . 4 |- (z = A -> (y = (x .ih z) <-> y = (x .ih A)))
3	2	anbi2d 614	. . 3 |- (z = A -> ((x e. H~ /\ y = (x .ih z)) <-> (x e. H~ /\ y = (x .ih A))))
4	3	opabbidv 2660	. 2 |- (z = A -> {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih z))} = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih A))})
5		df-bra 9693	. 2 |- bra = {<.z, w>. | (z e. H~ /\ w = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih z))})}
6		ax-hilex 8790	. . 3 |- H~ e. V
7	6	opabex2 3596	. 2 |- {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih A))} e. V
8	4, 5, 7	fvopab4 3765	1 |- (A e. H~ -> (bra` A) = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih A))})

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  {copab 2656  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  H~chil 8727   .ih csp 8732  bracbr 8764

This theorem is referenced by:  bravalvalt 9784  brafnt 9787  bra0 9790  brafnmult 9791  rnbra 9953  kbass2t 9962

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-hilex 8790

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-fv 3188  df-opr 3950  df-bra 9693

Copyright terms: Public domain