Theorem bramult 9809

Description: Linearity property of bra for multiplication.

Assertion

Ref	Expression
bramult	|- ((A e. H~ /\ B e. CC /\ C e. H~) -> ((bra` A)` (B .h C)) = (B x. ((bra` A)` C)))

Proof of Theorem bramult

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-his3 8890	. . 3 |- ((B e. CC /\ C e. H~ /\ A e. H~) -> ((B .h C) .ih A) = (B x. (C .ih A)))
2	1	3comr 840	. 2 |- ((A e. H~ /\ B e. CC /\ C e. H~) -> ((B .h C) .ih A) = (B x. (C .ih A)))
3		bravalvalt 9807	. . . 4 |- ((A e. H~ /\ (B .h C) e. H~) -> ((bra` A)` (B .h C)) = ((B .h C) .ih A))
4		hvmulclt 8822	. . . 4 |- ((B e. CC /\ C e. H~) -> (B .h C) e. H~)
5	3, 4	sylan2 451	. . 3 |- ((A e. H~ /\ (B e. CC /\ C e. H~)) -> ((bra` A)` (B .h C)) = ((B .h C) .ih A))
6	5	3impb 828	. 2 |- ((A e. H~ /\ B e. CC /\ C e. H~) -> ((bra` A)` (B .h C)) = ((B .h C) .ih A))
7		bravalvalt 9807	. . . 4 |- ((A e. H~ /\ C e. H~) -> ((bra` A)` C) = (C .ih A))
8	7	3adant2 797	. . 3 |- ((A e. H~ /\ B e. CC /\ C e. H~) -> ((bra` A)` C) = (C .ih A))
9	8	opreq2d 3967	. 2 |- ((A e. H~ /\ B e. CC /\ C e. H~) -> (B x. ((bra` A)` C)) = (B x. (C .ih A)))
10	2, 6, 9	3eqtr4d 1514	1 |- ((A e. H~ /\ B e. CC /\ C e. H~) -> ((bra` A)` (B .h C)) = (B x. ((bra` A)` C)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 954   e. wcel 956  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  CCcc 5212   x. cmul 5219  H~chil 8727   .h csm 8729   .ih csp 8732  bracbr 8764

This theorem is referenced by:  bralnfnt 9811

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-hilex 8808  ax-hfvmul 8814  ax-his3 8890

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fv 3193  df-opr 3956  df-bra 9716

Copyright terms: Public domain