Theorem bralnfnt 9872

Description: The Dirac bra function is a linear functional.

Assertion

Ref	Expression
bralnfnt	|- (A e. H~ -> (bra` A) e. LinFn)

Proof of Theorem bralnfnt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brafnt 9871	. . 3 |- (A e. H~ -> (bra` A):H~-->CC)
2		braaddt 9869	. . . . . . . 8 |- ((A e. H~ /\ (x .h y) e. H~ /\ z e. H~) -> ((bra` A)` ((x .h y) +h z)) = (((bra` A)` (x .h y)) + ((bra` A)` z)))
3		simpll 412	. . . . . . . 8 |- (((A e. H~ /\ x e. CC) /\ (y e. H~ /\ z e. H~)) -> A e. H~)
4		hvmulclt 8883	. . . . . . . . 9 |- ((x e. CC /\ y e. H~) -> (x .h y) e. H~)
5	4	ad2ant2lr 410	. . . . . . . 8 |- (((A e. H~ /\ x e. CC) /\ (y e. H~ /\ z e. H~)) -> (x .h y) e. H~)
6		simprr 415	. . . . . . . 8 |- (((A e. H~ /\ x e. CC) /\ (y e. H~ /\ z e. H~)) -> z e. H~)
7	2, 3, 5, 6	syl3anc 858	. . . . . . 7 |- (((A e. H~ /\ x e. CC) /\ (y e. H~ /\ z e. H~)) -> ((bra` A)` ((x .h y) +h z)) = (((bra` A)` (x .h y)) + ((bra` A)` z)))
8		bramult 9870	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. H~ /\ x e. CC /\ y e. H~) -> ((bra` A)` (x .h y)) = (x x. ((bra` A)` y)))
9	8	3expa 833	. . . . . . . . 9 |- (((A e. H~ /\ x e. CC) /\ y e. H~) -> ((bra` A)` (x .h y)) = (x x. ((bra` A)` y)))
10	9	adantrr 395	. . . . . . . 8 |- (((A e. H~ /\ x e. CC) /\ (y e. H~ /\ z e. H~)) -> ((bra` A)` (x .h y)) = (x x. ((bra` A)` y)))
11	10	opreq1d 3975	. . . . . . 7 |- (((A e. H~ /\ x e. CC) /\ (y e. H~ /\ z e. H~)) -> (((bra` A)` (x .h y)) + ((bra` A)` z)) = ((x x. ((bra` A)` y)) + ((bra` A)` z)))
12	7, 11	eqtrd 1507	. . . . . 6 |- (((A e. H~ /\ x e. CC) /\ (y e. H~ /\ z e. H~)) -> ((bra` A)` ((x .h y) +h z)) = ((x x. ((bra` A)` y)) + ((bra` A)` z)))
13	12	ex 373	. . . . 5 |- ((A e. H~ /\ x e. CC) -> ((y e. H~ /\ z e. H~) -> ((bra` A)` ((x .h y) +h z)) = ((x x. ((bra` A)` y)) + ((bra` A)` z))))
14	13	r19.21aivv 1720	. . . 4 |- ((A e. H~ /\ x e. CC) -> A.y e. H~ A.z e. H~ ((bra` A)` ((x .h y) +h z)) = ((x x. ((bra` A)` y)) + ((bra` A)` z)))
15	14	r19.21aiva 1714	. . 3 |- (A e. H~ -> A.x e. CC A.y e. H~ A.z e. H~ ((bra` A)` ((x .h y) +h z)) = ((x x. ((bra` A)` y)) + ((bra` A)` z)))
16	1, 15	jca 288	. 2 |- (A e. H~ -> ((bra` A):H~-->CC /\ A.x e. CC A.y e. H~ A.z e. H~ ((bra` A)` ((x .h y) +h z)) = ((x x. ((bra` A)` y)) + ((bra` A)` z))))
17		ellnfnt 9810	. 2 |- ((bra` A) e. LinFn <-> ((bra` A):H~-->CC /\ A.x e. CC A.y e. H~ A.z e. H~ ((bra` A)` ((x .h y) +h z)) = ((x x. ((bra` A)` y)) + ((bra` A)` z))))
18	16, 17	sylibr 200	1 |- (A e. H~ -> (bra` A) e. LinFn)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232   + caddc 5237   x. cmul 5239  H~chil 8788   +h cva 8789   .h csm 8790  LinFnclf 8823  bracbr 8825

This theorem is referenced by:  rnbra 10040  kbass4t 10052

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-hilex 8869  ax-hfvadd 8870  ax-hfvmul 8875  ax-hfi 8946  ax-his2 8950  ax-his3 8951

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-opr 3965  df-lnfn 9774  df-bra 9776

Copyright terms: Public domain