Theorem brafnmult 9875

Description: Anti-linearity property of bra functional for multiplication.

Assertion

Ref	Expression
brafnmult	|- ((A e. CC /\ B e. H~) -> (bra` (A .h B)) = ((*` A) .fn (bra` B)))

Proof of Theorem brafnmult

Step	Hyp	Ref	Expression
1		his5t 8953	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ x e. H~ /\ B e. H~) -> (x .ih (A .h B)) = ((*` A) x. (x .ih B)))
2	1	3com23 839	. . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ B e. H~ /\ x e. H~) -> (x .ih (A .h B)) = ((*` A) x. (x .ih B)))
3	2	3expa 833	. . . . . 6 |- (((A e. CC /\ B e. H~) /\ x e. H~) -> (x .ih (A .h B)) = ((*` A) x. (x .ih B)))
4		bravalvalt 9868	. . . . . . . 8 |- ((B e. H~ /\ x e. H~) -> ((bra` B)` x) = (x .ih B))
5	4	adantll 392	. . . . . . 7 |- (((A e. CC /\ B e. H~) /\ x e. H~) -> ((bra` B)` x) = (x .ih B))
6	5	opreq2d 3976	. . . . . 6 |- (((A e. CC /\ B e. H~) /\ x e. H~) -> ((*` A) x. ((bra` B)` x)) = ((*` A) x. (x .ih B)))
7	3, 6	eqtr4d 1510	. . . . 5 |- (((A e. CC /\ B e. H~) /\ x e. H~) -> (x .ih (A .h B)) = ((*` A) x. ((bra` B)` x)))
8	7	eqeq2d 1486	. . . 4 |- (((A e. CC /\ B e. H~) /\ x e. H~) -> (y = (x .ih (A .h B)) <-> y = ((*` A) x. ((bra` B)` x))))
9	8	pm5.32da 649	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. H~) -> ((x e. H~ /\ y = (x .ih (A .h B))) <-> (x e. H~ /\ y = ((*` A) x. ((bra` B)` x)))))
10	9	opabbidv 2670	. 2 |- ((A e. CC /\ B e. H~) -> {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih (A .h B)))} = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((*` A) x. ((bra` B)` x)))})
11		hvmulclt 8883	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. H~) -> (A .h B) e. H~)
12		bravalt 9867	. . 3 |- ((A .h B) e. H~ -> (bra` (A .h B)) = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih (A .h B)))})
13	11, 12	syl 10	. 2 |- ((A e. CC /\ B e. H~) -> (bra` (A .h B)) = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih (A .h B)))})
14		hfmmvalt 9515	. . 3 |- (((*` A) e. CC /\ (bra` B):H~-->CC) -> ((*` A) .fn (bra` B)) = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((*` A) x. ((bra` B)` x)))})
15		cjclt 6764	. . 3 |- (A e. CC -> (*` A) e. CC)
16		brafnt 9871	. . 3 |- (B e. H~ -> (bra` B):H~-->CC)
17	14, 15, 16	syl2an 454	. 2 |- ((A e. CC /\ B e. H~) -> ((*` A) .fn (bra` B)) = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((*` A) x. ((bra` B)` x)))})
18	10, 13, 17	3eqtr4d 1517	1 |- ((A e. CC /\ B e. H~) -> (bra` (A .h B)) = ((*` A) .fn (bra` B)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  {copab 2666  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232   x. cmul 5239  *ccj 6749  H~chil 8788   .h csm 8790   .ih csp 8793   .fn chft 8811  bracbr 8825

This theorem is referenced by:  cnvbramult 10048

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625  ax-hilex 8869  ax-hfvmul 8875  ax-hfi 8946  ax-his1 8949  ax-his3 8951

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-map 4324  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-hfmul 9510  df-bra 9776

Copyright terms: Public domain