Theorem bra11 9979

Description: The bra function maps vectors one-to-one onto the set of continuous linear functionals.

Assertion

Ref	Expression
bra11	|- bra:H~-1-1-onto->(LinFn i^i ConFn)

Proof of Theorem bra11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hilex 8808	. . . . 5 |- H~ e. V
2	1	opabex2 3602	. . . 4 |- {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih z))} e. V
3		df-bra 9716	. . . 4 |- bra = {<.z, t>. | (z e. H~ /\ t = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih z))})}
4	2, 3	fnopab2 3610	. . 3 |- bra Fn H~
5		funcnv 3549	. . . 4 |- (Fun `'bra <-> A.t e. ran braE*z zbrat)
6		visset 1809	. . . . . . . . . . . . 13 |- t e. V
7	6	fnbrfvb 3744	. . . . . . . . . . . 12 |- ((bra Fn H~ /\ z e. H~) -> ((bra` z) = t <-> zbrat))
8	4, 7	mpan 694	. . . . . . . . . . 11 |- (z e. H~ -> ((bra` z) = t <-> zbrat))
9	6	fnbrfvb 3744	. . . . . . . . . . . 12 |- ((bra Fn H~ /\ y e. H~) -> ((bra` y) = t <-> ybrat))
10	4, 9	mpan 694	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. H~ -> ((bra` y) = t <-> ybrat))
11	8, 10	bi2anan9 631	. . . . . . . . . 10 |- ((z e. H~ /\ y e. H~) -> (((bra` z) = t /\ (bra` y) = t) <-> (zbrat /\ ybrat)))
12		fveq1 3714	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((bra` z) = (bra` y) -> ((bra` z)` x) = ((bra` y)` x))
13	12	adantl 388	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((z e. H~ /\ y e. H~) /\ x e. H~) /\ (bra` z) = (bra` y)) -> ((bra` z)` x) = ((bra` y)` x))
14		bravalvalt 9807	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((z e. H~ /\ x e. H~) -> ((bra` z)` x) = (x .ih z))
15	14	adantlr 393	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((z e. H~ /\ y e. H~) /\ x e. H~) -> ((bra` z)` x) = (x .ih z))
16	15	adantr 389	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((z e. H~ /\ y e. H~) /\ x e. H~) /\ (bra` z) = (bra` y)) -> ((bra` z)` x) = (x .ih z))
17		bravalvalt 9807	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((y e. H~ /\ x e. H~) -> ((bra` y)` x) = (x .ih y))
18	17	adantll 392	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((z e. H~ /\ y e. H~) /\ x e. H~) -> ((bra` y)` x) = (x .ih y))
19	18	adantr 389	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((z e. H~ /\ y e. H~) /\ x e. H~) /\ (bra` z) = (bra` y)) -> ((bra` y)` x) = (x .ih y))
20	13, 16, 19	3eqtr3d 1512	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((z e. H~ /\ y e. H~) /\ x e. H~) /\ (bra` z) = (bra` y)) -> (x .ih z) = (x .ih y))
21	20	exp31 376	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((z e. H~ /\ y e. H~) -> (x e. H~ -> ((bra` z) = (bra` y) -> (x .ih z) = (x .ih y))))
22	21	com23 32	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z e. H~ /\ y e. H~) -> ((bra` z) = (bra` y) -> (x e. H~ -> (x .ih z) = (x .ih y))))
23	22	r19.21adv 1715	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z e. H~ /\ y e. H~) -> ((bra` z) = (bra` y) -> A.x e. H~ (x .ih z) = (x .ih y)))
24		hial2eq2t 8912	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z e. H~ /\ y e. H~) -> (A.x e. H~ (x .ih z) = (x .ih y) <-> z = y))
25	23, 24	sylibd 202	. . . . . . . . . . 11 |- ((z e. H~ /\ y e. H~) -> ((bra` z) = (bra` y) -> z = y))
26		eqtr3t 1491	. . . . . . . . . . 11 |- (((bra` z) = t /\ (bra` y) = t) -> (bra` z) = (bra` y))
27	25, 26	syl5 21	. . . . . . . . . 10 |- ((z e. H~ /\ y e. H~) -> (((bra` z) = t /\ (bra` y) = t) -> z = y))
28	11, 27	sylbird 205	. . . . . . . . 9 |- ((z e. H~ /\ y e. H~) -> ((zbrat /\ ybrat) -> z = y))
29	28	imp 350	. . . . . . . 8 |- (((z e. H~ /\ y e. H~) /\ (zbrat /\ ybrat)) -> z = y)
30	29	an4s 508	. . . . . . 7 |- (((z e. H~ /\ zbrat) /\ (y e. H~ /\ ybrat)) -> z = y)
31	30	gen2 981	. . . . . 6 |- A.zA.y(((z e. H~ /\ zbrat) /\ (y e. H~ /\ ybrat)) -> z = y)
32	31	a1i 8	. . . . 5 |- (E.z e. H~ (bra` z) = t -> A.zA.y(((z e. H~ /\ zbrat) /\ (y e. H~ /\ ybrat)) -> z = y))
33		fvelrnb 3751	. . . . . 6 |- (bra Fn H~ -> (t e. ran bra <-> E.z e. H~ (bra` z) = t))
34	4, 33	ax-mp 7	. . . . 5 |- (t e. ran bra <-> E.z e. H~ (bra` z) = t)
35		visset 1809	. . . . . . . . . 10 |- z e. V
36	35	breldm 3310	. . . . . . . . 9 |- (zbrat -> z e. dom bra)
37	2, 3	dmopab2 3611	. . . . . . . . 9 |- dom bra = H~
38	36, 37	syl6eleq 1555	. . . . . . . 8 |- (zbrat -> z e. H~)
39	38	pm4.71ri 637	. . . . . . 7 |- (zbrat <-> (z e. H~ /\ zbrat))
40	39	mobii 1403	. . . . . 6 |- (E*z zbrat <-> E*z(z e. H~ /\ zbrat))
41		eleq1 1531	. . . . . . . 8 |- (z = y -> (z e. H~ <-> y e. H~))
42		breq1 2617	. . . . . . . 8 |- (z = y -> (zbrat <-> ybrat))
43	41, 42	anbi12d 627	. . . . . . 7 |- (z = y -> ((z e. H~ /\ zbrat) <-> (y e. H~ /\ ybrat)))
44	43	mo4 1401	. . . . . 6 |- (E*z(z e. H~ /\ zbrat) <-> A.zA.y(((z e. H~ /\ zbrat) /\ (y e. H~ /\ ybrat)) -> z = y))
45	40, 44	bitr 173	. . . . 5 |- (E*z zbrat <-> A.zA.y(((z e. H~ /\ zbrat) /\ (y e. H~ /\ ybrat)) -> z = y))
46	32, 34, 45	3imtr4 219	. . . 4 |- (t e. ran bra -> E*z zbrat)
47	5, 46	mprgbir 1698	. . 3 |- Fun `'bra
48		rnbra 9978	. . 3 |- ran bra = (LinFn i^i ConFn)
49	4, 47, 48	3pm3.2i 817	. 2 |- (bra Fn H~ /\ Fun `'bra /\ ran bra = (LinFn i^i ConFn))
50		f1o2 3684	. 2 |- (bra:H~-1-1-onto->(LinFn i^i ConFn) <-> (bra Fn H~ /\ Fun `'bra /\ ran bra = (LinFn i^i ConFn)))
51	49, 50	mpbir 190	1 |- bra:H~-1-1-onto->(LinFn i^i ConFn)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 774  A.wal 952   = wceq 954   e. wcel 956  E*wmo 1379  A.wral 1642  E.wrex 1643   i^i cin 2042   class class class wbr 2614  {copab 2661  `'ccnv 3164  dom cdm 3165  ran crn 3166  Fun wfun 3171   Fn wfn 3172  -1-1-onto->wf1o 3176  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  H~chil 8727   .ih csp 8732  ConFnccnf 8761  LinFnclf 8762  bracbr 8764

This theorem is referenced by:  bracnlnt 9980  cnvbravalt 9981  cnvbraclt 9982  cnvbrabrat 9983  bracnvbrat 9984  bracnlnvalt 9985

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-reg 4573  ax-inf2 4605  ax-ac 4724  ax-hilex 8808  ax-hfvadd 8809  ax-hvcom 8810  ax-hvass 8811  ax-hv0cl 8812  ax-hvaddid 8813  ax-hfvmul 8814  ax-hvmulid 8815  ax-hvmulass 8816  ax-hvdistr1 8817  ax-hvdistr2 8818  ax-hvmul0 8819  ax-hfi 8885  ax-his1 8888  ax-his2 8889  ax-his3 8890  ax-his4 8891  ax-hcompl 9010

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-iin 2564  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-map 4314  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-r1 4623  df-rank 4624  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-3 5926  df-4 5927  df-n0 6055  df-z 6091  df-fl 6180  df-q 6202  df-seq1 6253  df-shft 6286  df-ioo 6306  df-uz 6358  df-fz 6408  df-seqz 6473  df-exp 6509  df-sqr 6608  df-re 6690  df-im 6691  df-cj 6692  df-abs 6693  df-clim 6921  df-sum 6926  df-top 7542  df-bases 7544  df-topgen 7545  df-cld 7613  df-ntr 7614  df-cls 7615  df-cn 7704  df-cnp 7705  df-haus 7732  df-met 7743  df-bl 7745  df-opn 7746  df-lm 7874  df-grp 7987  df-gid 7988  df-ginv 7989  df-gdiv 7990  df-abl 8051  df-vc 8117  df-nv 8163  df-va 8166  df-ba 8167  df-sm 8168  df-0v 8169  df-vs 8170  df-nm 8171  df-ims 8172  df-ip 8297  df-ph 8416  df-hnorm 8776  df-hvsub 8779  df-hlim 8780  df-hcau 8781  df-sh 9015  df-ch 9031  df-oc 9063  df-ch0 9064  df-nmfn 9711  df-nlfn 9712  df-cnfn 9713  df-lnfn 9714  df-bra 9716

Copyright terms: Public domain