Theorem bopcn 7985

Description: Conditions for a binary operation O on CC to be continuous.

Hypotheses

Ref	Expression
bopcn.1	|- C = (abs o. - )
bopcn.2	|- D = {<.<.w, v>., u>. | ((w e. (CC X. CC) /\ v e. (CC X. CC)) /\ u = sup({((1st` w)C(1st` v)), ((2nd` w)C(2nd` v))}, RR, < ))}
bopcn.j	|- J = (Open` C)
bopcn.k	|- K = (Open` D)
bopcn.5	|- O:(CC X. CC)-->CC
bopcn.6	|- F = {<.k, r>. | (k e. NN /\ r = (1st` (h` k)))}
bopcn.7	|- G = {<.k, r>. | (k e. NN /\ r = (2nd` (h` k)))}
bopcn.9	|- (((1st` (h` k)) e. CC /\ (2nd` (h` k)) e. CC) -> ((1st` (h` k))O(2nd` (h` k))) e. CC)
bopcn.10	|- (((F ~~> (1st` q) /\ G ~~> (2nd` q)) /\ (1 e. ZZ /\ A.m e. (ZZ>` 1)((F` m) e. CC /\ (G` m) e. CC /\ (H` m) = ((F` m)O(G` m))))) -> H ~~> ((1st` q)O(2nd` q)))
bopcn.8	|- H = {<.k, r>. | (k e. NN /\ r = (O` (h` k)))}

Assertion

Ref	Expression
bopcn	|- O e. (K Cn J)

Distinct variable groups:   h,q,u,v,w,C   h,m,D,q   u,m,v,w,F   m,G,u,v,w   H,q   J,q   K,q   h,k,r,O,q   k,m,u,v,w,r

Proof of Theorem bopcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bopcn.1	. . . . 5 |- C = (abs o. - )
2	1	cnmetba 7903	. . . 4 |- CC = dom dom C
3	1	cnmet 7904	. . . 4 |- C e. Met
4		bopcn.2	. . . 4 |- D = {<.<.w, v>., u>. | ((w e. (CC X. CC) /\ v e. (CC X. CC)) /\ u = sup({((1st` w)C(1st` v)), ((2nd` w)C(2nd` v))}, RR, < ))}
5	2, 2, 3, 3, 4	metxp 7834	. . 3 |- D e. Met
6		bopcn.5	. . 3 |- O:(CC X. CC)-->CC
7		ltso 5512	. . . . . . . 8 |- < Or RR
8	7	supex 4577	. . . . . . 7 |- sup({((1st` w)C(1st` v)), ((2nd` w)C(2nd` v))}, RR, < ) e. V
9	8, 4	dmoprab2 4123	. . . . . 6 |- dom D = ((CC X. CC) X. (CC X. CC))
10	9	dmeqi 3312	. . . . 5 |- dom dom D = dom ((CC X. CC) X. (CC X. CC))
11		dmxpid 3333	. . . . 5 |- dom ((CC X. CC) X. (CC X. CC)) = (CC X. CC)
12	10, 11	eqtr2 1496	. . . 4 |- (CC X. CC) = dom dom D
13		bopcn.k	. . . 4 |- K = (Open` D)
14		bopcn.j	. . . 4 |- J = (Open` C)
15		bopcn.8	. . . 4 |- H = {<.k, r>. | (k e. NN /\ r = (O` (h` k)))}
16	12, 2, 13, 14, 15	metcn4 7971	. . 3 |- ((D e. Met /\ C e. Met /\ O:(CC X. CC)-->CC) -> (O e. (K Cn J) <-> A.h(h:NN-->(CC X. CC) -> A.q e. (CC X. CC)(h(~~>m` D)q -> H(~~>m` C)(O` q)))))
17	5, 3, 6, 16	mp3an 916	. 2 |- (O e. (K Cn J) <-> A.h(h:NN-->(CC X. CC) -> A.q e. (CC X. CC)(h(~~>m` D)q -> H(~~>m` C)(O` q))))
18		bopcn.6	. . . . . 6 |- F = {<.k, r>. | (k e. NN /\ r = (1st` (h` k)))}
19		bopcn.7	. . . . . 6 |- G = {<.k, r>. | (k e. NN /\ r = (2nd` (h` k)))}
20		bopcn.9	. . . . . 6 |- (((1st` (h` k)) e. CC /\ (2nd` (h` k)) e. CC) -> ((1st` (h` k))O(2nd` (h` k))) e. CC)
21		bopcn.10	. . . . . 6 |- (((F ~~> (1st` q) /\ G ~~> (2nd` q)) /\ (1 e. ZZ /\ A.m e. (ZZ>` 1)((F` m) e. CC /\ (G` m) e. CC /\ (H` m) = ((F` m)O(G` m))))) -> H ~~> ((1st` q)O(2nd` q)))
22	1, 4, 14, 13, 6, 18, 19, 20, 21, 15	bopcnlem4 7984	. . . . 5 |- ((h:NN-->(CC X. CC) /\ h(~~>m` D)q) -> H(~~>m` C)(O` q))
23	22	ex 373	. . . 4 |- (h:NN-->(CC X. CC) -> (h(~~>m` D)q -> H(~~>m` C)(O` q)))
24	23	adantr 389	. . 3 |- ((h:NN-->(CC X. CC) /\ q e. (CC X. CC)) -> (h(~~>m` D)q -> H(~~>m` C)(O` q)))
25	24	r19.21aiva 1714	. 2 |- (h:NN-->(CC X. CC) -> A.q e. (CC X. CC)(h(~~>m` D)q -> H(~~>m` C)(O` q)))
26	17, 25	mpgbir 988	1 |- O e. (K Cn J)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  {cpr 2410   class class class wbr 2619  {copab 2666   X. cxp 3168  dom cdm 3170   o. ccom 3174  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  {copab2 3964  1stc1st 4077  2ndc2nd 4078  supcsup 4573  CCcc 5232  RRcr 5233  1c1 5235   - cmin 5292  NNcn 5296  ZZcz 5298   < clt 5486  ZZ>cuz 6417  abscabs 6750   ~~> cli 6974   Cn ccn 7752  Metcme 7789  Opencopn 7792  ~~>mclm 7919

This theorem is referenced by:  addcn 7986  subcn 7987  mulcn 7988

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-reg 4593  ax-inf2 4625  ax-ac 4744

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-iin 2569  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-map 4324  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-r1 4643  df-rank 4644  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-fl 6224  df-seq1 6308  df-uz 6418  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-clim 6975  df-top 7592  df-cn 7754  df-cnp 7755  df-met 7793  df-bl 7795  df-opn 7796  df-lm 7922

Copyright terms: Public domain