Theorem bm1.3ii 2696

Description: Convert implication to equivalence using Aussonderung. Similar to Theorem 1.3ii of [BellMachover] p. 463.

Hypothesis

Ref	Expression
bm1.3ii.1	|- E.xA.y(ph -> y e. x)

Assertion

Ref	Expression
bm1.3ii	|- E.xA.y(y e. x <-> ph)

Distinct variable groups:   ph,x   x,y

Proof of Theorem bm1.3ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bm1.3ii.1	. . . . 5 |- E.xA.y(ph -> y e. x)
2		elequ2 1133	. . . . . . . 8 |- (x = z -> (y e. x <-> y e. z))
3	2	imbi2d 610	. . . . . . 7 |- (x = z -> ((ph -> y e. x) <-> (ph -> y e. z)))
4	3	albidv 1273	. . . . . 6 |- (x = z -> (A.y(ph -> y e. x) <-> A.y(ph -> y e. z)))
5	4	cbvexv 1310	. . . . 5 |- (E.xA.y(ph -> y e. x) <-> E.zA.y(ph -> y e. z))
6	1, 5	mpbi 189	. . . 4 |- E.zA.y(ph -> y e. z)
7		ax-sep 2693	. . . 4 |- E.xA.y(y e. x <-> (y e. z /\ ph))
8	6, 7	pm3.2i 285	. . 3 |- (E.zA.y(ph -> y e. z) /\ E.xA.y(y e. x <-> (y e. z /\ ph)))
9	8	exan 1102	. 2 |- E.z(A.y(ph -> y e. z) /\ E.xA.y(y e. x <-> (y e. z /\ ph)))
10		19.42v 1303	. . . 4 |- (E.x(A.y(ph -> y e. z) /\ A.y(y e. x <-> (y e. z /\ ph))) <-> (A.y(ph -> y e. z) /\ E.xA.y(y e. x <-> (y e. z /\ ph))))
11		19.26 1063	. . . . . 6 |- (A.y((ph -> y e. z) /\ (y e. x <-> (y e. z /\ ph))) <-> (A.y(ph -> y e. z) /\ A.y(y e. x <-> (y e. z /\ ph))))
12		bimsc1 748	. . . . . . 7 |- (((ph -> y e. z) /\ (y e. x <-> (y e. z /\ ph))) -> (y e. x <-> ph))
13	12	19.20i 989	. . . . . 6 |- (A.y((ph -> y e. z) /\ (y e. x <-> (y e. z /\ ph))) -> A.y(y e. x <-> ph))
14	11, 13	sylbir 201	. . . . 5 |- ((A.y(ph -> y e. z) /\ A.y(y e. x <-> (y e. z /\ ph))) -> A.y(y e. x <-> ph))
15	14	19.22i 1036	. . . 4 |- (E.x(A.y(ph -> y e. z) /\ A.y(y e. x <-> (y e. z /\ ph))) -> E.xA.y(y e. x <-> ph))
16	10, 15	sylbir 201	. . 3 |- ((A.y(ph -> y e. z) /\ E.xA.y(y e. x <-> (y e. z /\ ph))) -> E.xA.y(y e. x <-> ph))
17	16	19.23aiv 1290	. 2 |- (E.z(A.y(ph -> y e. z) /\ E.xA.y(y e. x <-> (y e. z /\ ph))) -> E.xA.y(y e. x <-> ph))
18	9, 17	ax-mp 7	1 |- E.xA.y(y e. x <-> ph)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 951   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977

This theorem is referenced by:  axpow2 2734  pwex 2735  zfpair2 2770  axun2 2859  uniex2 2860

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-12 965  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-sep 2693

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978

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