Theorem blssopn 7876

Description: The balls of a metric space are open sets.

Hypothesis

Ref	Expression
opni.1	|- J = (Open` D)

Assertion

Ref	Expression
blssopn	|- (D e. Met -> ran ( ball ` D) (_ J)

Proof of Theorem blssopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1482	. . . . . 6 |- dom dom D = dom dom D
2	1	rnblssm 7860	. . . . 5 |- ((D e. Met /\ w e. ran ( ball ` D)) -> w (_ dom dom D)
3		ssid 2089	. . . . . . . 8 |- w (_ w
4		elequ2 1143	. . . . . . . . . 10 |- (u = w -> (v e. u <-> v e. w))
5		sseq1 2091	. . . . . . . . . 10 |- (u = w -> (u (_ w <-> w (_ w))
6	4, 5	anbi12d 631	. . . . . . . . 9 |- (u = w -> ((v e. u /\ u (_ w) <-> (v e. w /\ w (_ w)))
7	6	rcla4ev 1884	. . . . . . . 8 |- ((w e. ran ( ball ` D) /\ (v e. w /\ w (_ w)) -> E.u e. ran ( ball ` D)(v e. u /\ u (_ w))
8	3, 7	mpanr2 714	. . . . . . 7 |- ((w e. ran ( ball ` D) /\ v e. w) -> E.u e. ran ( ball ` D)(v e. u /\ u (_ w))
9	8	r19.21aiva 1721	. . . . . 6 |- (w e. ran ( ball ` D) -> A.v e. w E.u e. ran ( ball ` D)(v e. u /\ u (_ w))
10	9	adantl 390	. . . . 5 |- ((D e. Met /\ w e. ran ( ball ` D)) -> A.v e. w E.u e. ran ( ball ` D)(v e. u /\ u (_ w))
11	2, 10	jca 288	. . . 4 |- ((D e. Met /\ w e. ran ( ball ` D)) -> (w (_ dom dom D /\ A.v e. w E.u e. ran ( ball ` D)(v e. u /\ u (_ w)))
12	11	ex 373	. . 3 |- (D e. Met -> (w e. ran ( ball ` D) -> (w (_ dom dom D /\ A.v e. w E.u e. ran ( ball ` D)(v e. u /\ u (_ w))))
13		opni.1	. . . 4 |- J = (Open` D)
14	1, 13	isopn 7868	. . 3 |- (D e. Met -> (w e. J <-> (w (_ dom dom D /\ A.v e. w E.u e. ran ( ball ` D)(v e. u /\ u (_ w))))
15	12, 14	sylibrd 204	. 2 |- (D e. Met -> (w e. ran ( ball ` D) -> w e. J))
16	15	ssrdv 2079	1 |- (D e. Met -> ran ( ball ` D) (_ J)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 960   e. wcel 962  A.wral 1652  E.wrex 1653   (_ wss 2056  dom cdm 3184  ran crn 3185  ` cfv 3196  Metcme 7798   ball cbl 7800  Opencopn 7801

This theorem is referenced by:  tgbl 7880  blbas 7881  rnblopn 7883  unirnbl 7884

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 966  ax-gen 967  ax-8 968  ax-9 969  ax-10 970  ax-11 971  ax-12 972  ax-13 973  ax-14 974  ax-17 975  ax-4 977  ax-5o 979  ax-6o 982  ax-9o 1129  ax-10o 1146  ax-16 1216  ax-11o 1224  ax-ext 1466  ax-rep 2706  ax-sep 2716  ax-nul 2723  ax-pow 2756  ax-pr 2793  ax-un 2880  ax-inf2 4637

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 780  df-3an 781  df-ex 985  df-sb 1178  df-eu 1388  df-mo 1389  df-clab 1471  df-cleq 1476  df-clel 1479  df-ne 1594  df-ral 1656  df-rex 1657  df-reu 1658  df-rab 1659  df-v 1819  df-sbc 1949  df-csb 2010  df-dif 2058  df-un 2059  df-in 2060  df-ss 2062  df-pss 2064  df-nul 2290  df-if 2372  df-pw 2412  df-sn 2422  df-pr 2423  df-tp 2425  df-op 2426  df-uni 2516  df-int 2546  df-iun 2580  df-br 2633  df-opab 2680  df-tr 2694  df-eprel 2846  df-id 2849  df-po 2854  df-so 2864  df-fr 2931  df-we 2948  df-ord 2965  df-on 2966  df-lim 2967  df-suc 2968  df-om 3146  df-xp 3198  df-rel 3199  df-cnv 3200  df-co 3201  df-dm 3202  df-rn 3203  df-res 3204  df-ima 3205  df-fun 3206  df-fn 3207  df-f 3208  df-fv 3212  df-rdg 3946  df-opr 3979  df-oprab 3980  df-1st 4093  df-2nd 4094  df-1o 4147  df-oadd 4149  df-omul 4150  df-er 4275  df-ec 4277  df-qs 4280  df-ni 5013  df-pli 5014  df-mi 5015  df-lti 5016  df-plpq 5048  df-mpq 5049  df-enq 5050  df-nq 5051  df-plq 5052  df-mq 5053  df-rq 5054  df-ltq 5055  df-1q 5056  df-np 5099  df-1p 5100  df-enr 5179  df-nr 5180  df-0r 5184  df-c 5253  df-r 5257  df-bl 7804  df-opn 7805

Copyright terms: Public domain