Theorem blssex 7794

Description: Two ways to express the existence of a ball subset.

Hypothesis

Ref	Expression
blssex.1	|- X = dom dom D

Assertion

Ref	Expression
blssex	|- ((D e. Met /\ P e. X) -> (E.x e. ran ( ball ` D)(P e. x /\ x (_ A) <-> E.y e. RR (0 < y /\ (P( ball ` D)y) (_ A)))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,D,y   x,P,y   y,X

Proof of Theorem blssex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.41v 1755	. . . . . . . 8 |- (E.y e. RR ((0 < y /\ (P( ball ` D)y) (_ x) /\ x (_ A) <-> (E.y e. RR (0 < y /\ (P( ball ` D)y) (_ x) /\ x (_ A))
2		sstr 2062	. . . . . . . . . . 11 |- (((P( ball ` D)y) (_ x /\ x (_ A) -> (P( ball ` D)y) (_ A)
3	2	anim2i 335	. . . . . . . . . 10 |- ((0 < y /\ ((P( ball ` D)y) (_ x /\ x (_ A)) -> (0 < y /\ (P( ball ` D)y) (_ A))
4	3	anassrs 441	. . . . . . . . 9 |- (((0 < y /\ (P( ball ` D)y) (_ x) /\ x (_ A) -> (0 < y /\ (P( ball ` D)y) (_ A))
5	4	r19.22si 1726	. . . . . . . 8 |- (E.y e. RR ((0 < y /\ (P( ball ` D)y) (_ x) /\ x (_ A) -> E.y e. RR (0 < y /\ (P( ball ` D)y) (_ A))
6	1, 5	sylbir 201	. . . . . . 7 |- ((E.y e. RR (0 < y /\ (P( ball ` D)y) (_ x) /\ x (_ A) -> E.y e. RR (0 < y /\ (P( ball ` D)y) (_ A))
7		blss 7793	. . . . . . 7 |- ((D e. Met /\ x e. ran ( ball ` D) /\ P e. x) -> E.y e. RR (0 < y /\ (P( ball ` D)y) (_ x))
8	6, 7	sylan 448	. . . . . 6 |- (((D e. Met /\ x e. ran ( ball ` D) /\ P e. x) /\ x (_ A) -> E.y e. RR (0 < y /\ (P( ball ` D)y) (_ A))
9	8	3exp1 847	. . . . 5 |- (D e. Met -> (x e. ran ( ball ` D) -> (P e. x -> (x (_ A -> E.y e. RR (0 < y /\ (P( ball ` D)y) (_ A)))))
10	9	imp4b 365	. . . 4 |- ((D e. Met /\ x e. ran ( ball ` D)) -> ((P e. x /\ x (_ A) -> E.y e. RR (0 < y /\ (P( ball ` D)y) (_ A)))
11	10	r19.23adva 1739	. . 3 |- (D e. Met -> (E.x e. ran ( ball ` D)(P e. x /\ x (_ A) -> E.y e. RR (0 < y /\ (P( ball ` D)y) (_ A)))
12	11	adantr 389	. 2 |- ((D e. Met /\ P e. X) -> (E.x e. ran ( ball ` D)(P e. x /\ x (_ A) -> E.y e. RR (0 < y /\ (P( ball ` D)y) (_ A)))
13		eleq2 1527	. . . . . . 7 |- (x = (P( ball ` D)y) -> (P e. x <-> P e. (P( ball ` D)y)))
14		sseq1 2072	. . . . . . 7 |- (x = (P( ball ` D)y) -> (x (_ A <-> (P( ball ` D)y) (_ A))
15	13, 14	anbi12d 626	. . . . . 6 |- (x = (P( ball ` D)y) -> ((P e. x /\ x (_ A) <-> (P e. (P( ball ` D)y) /\ (P( ball ` D)y) (_ A)))
16	15	rcla4ev 1868	. . . . 5 |- (((P( ball ` D)y) e. ran ( ball ` D) /\ (P e. (P( ball ` D)y) /\ (P( ball ` D)y) (_ A)) -> E.x e. ran ( ball ` D)(P e. x /\ x (_ A))
17		blssex.1	. . . . . . . 8 |- X = dom dom D
18	17	blelrn 7788	. . . . . . 7 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ (y e. RR /\ 0 < y)) -> (P( ball ` D)y) e. ran ( ball ` D))
19	18	anassrs 441	. . . . . 6 |- ((((D e. Met /\ P e. X) /\ y e. RR) /\ 0 < y) -> (P( ball ` D)y) e. ran ( ball ` D))
20	19	adantrr 395	. . . . 5 |- ((((D e. Met /\ P e. X) /\ y e. RR) /\ (0 < y /\ (P( ball ` D)y) (_ A)) -> (P( ball ` D)y) e. ran ( ball ` D))
21	17	blcntr 7785	. . . . . . . 8 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ (y e. RR /\ 0 < y)) -> P e. (P( ball ` D)y))
22	21	anassrs 441	. . . . . . 7 |- ((((D e. Met /\ P e. X) /\ y e. RR) /\ 0 < y) -> P e. (P( ball ` D)y))
23	22	anim1i 334	. . . . . 6 |- (((((D e. Met /\ P e. X) /\ y e. RR) /\ 0 < y) /\ (P( ball ` D)y) (_ A) -> (P e. (P( ball ` D)y) /\ (P( ball ` D)y) (_ A))
24	23	anasss 440	. . . . 5 |- ((((D e. Met /\ P e. X) /\ y e. RR) /\ (0 < y /\ (P( ball ` D)y) (_ A)) -> (P e. (P( ball ` D)y) /\ (P( ball ` D)y) (_ A))
25	16, 20, 24	sylanc 471	. . . 4 |- ((((D e. Met /\ P e. X) /\ y e. RR) /\ (0 < y /\ (P( ball ` D)y) (_ A)) -> E.x e. ran ( ball ` D)(P e. x /\ x (_ A))
26	25	ex 373	. . 3 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ y e. RR) -> ((0 < y /\ (P( ball ` D)y) (_ A) -> E.x e. ran ( ball ` D)(P e. x /\ x (_ A)))
27	26	r19.23adva 1739	. 2 |- ((D e. Met /\ P e. X) -> (E.y e. RR (0 < y /\ (P( ball ` D)y) (_ A) -> E.x e. ran ( ball ` D)(P e. x /\ x (_ A)))
28	12, 27	impbid 514	1 |- ((D e. Met /\ P e. X) -> (E.x e. ran ( ball ` D)(P e. x /\ x (_ A) <-> E.y e. RR (0 < y /\ (P( ball ` D)y) (_ A)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955  E.wrex 1638   (_ wss 2037   class class class wbr 2609  dom cdm 3160  ran crn 3161  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  RRcr 5205  0cc0 5206   < clt 5458  Metcme 7728   ball cbl 7730

This theorem is referenced by:  isopn4 7802  opni2 7805

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-met 7732  df-bl 7734

Copyright terms: Public domain