Theorem blrn3 7844

Description: Membership in the range of the ball function. Note that ran ( ball ` D) is the collection of all balls for metric D.

Hypothesis

Ref	Expression
blf.1	|- X = dom dom D

Assertion

Ref	Expression
blrn3	|- (D e. Met -> (A e. ran ( ball ` D) <-> E.x e. X E.y e. RR (0 < y /\ A = (x( ball ` D)y))))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,D,y   x,X,y

Proof of Theorem blrn3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blf.1	. . 3 |- X = dom dom D
2	1	blrn2 7839	. 2 |- (D e. Met -> (A e. ran ( ball ` D) <-> E.x e. X E.y e. RR (0 < y /\ A = {z e. X | (xDz) < y})))
3	1	blval 7834	. . . . . . 7 |- (((D e. Met /\ x e. X) /\ (y e. RR /\ 0 < y)) -> (x( ball ` D)y) = {z e. X | (xDz) < y})
4	3	anassrs 443	. . . . . 6 |- ((((D e. Met /\ x e. X) /\ y e. RR) /\ 0 < y) -> (x( ball ` D)y) = {z e. X | (xDz) < y})
5	4	eqeq2d 1489	. . . . 5 |- ((((D e. Met /\ x e. X) /\ y e. RR) /\ 0 < y) -> (A = (x( ball ` D)y) <-> A = {z e. X | (xDz) < y}))
6	5	pm5.32da 651	. . . 4 |- (((D e. Met /\ x e. X) /\ y e. RR) -> ((0 < y /\ A = (x( ball ` D)y)) <-> (0 < y /\ A = {z e. X | (xDz) < y})))
7	6	rexbidva 1663	. . 3 |- ((D e. Met /\ x e. X) -> (E.y e. RR (0 < y /\ A = (x( ball ` D)y)) <-> E.y e. RR (0 < y /\ A = {z e. X | (xDz) < y})))
8	7	rexbidva 1663	. 2 |- (D e. Met -> (E.x e. X E.y e. RR (0 < y /\ A = (x( ball ` D)y)) <-> E.x e. X E.y e. RR (0 < y /\ A = {z e. X | (xDz) < y})))
9	2, 8	bitr4d 533	1 |- (D e. Met -> (A e. ran ( ball ` D) <-> E.x e. X E.y e. RR (0 < y /\ A = (x( ball ` D)y))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  E.wrex 1649  {crab 1651   class class class wbr 2624  dom cdm 3176  ran crn 3177  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  RRcr 5245  0cc0 5246   < clt 5498  Metcme 7786   ball cbl 7788

This theorem is referenced by:  blelrn 7845  rnblssm 7848

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-enr 5178  df-nr 5179  df-0r 5183  df-c 5252  df-r 5256  df-bl 7792

Copyright terms: Public domain