Theorem blrn 7841

Description: Membership in the range of the ball function. Note that ran ( ball ` D) is the collection of all balls for metric D.

Hypothesis

Ref	Expression
blval.1	|- X = dom dom D

Assertion

Ref	Expression
blrn	|- (D e. Met -> (B e. ran ( ball ` D) <-> E.x e. X E.y e. {w e. RR | 0 < w}B = {z e. X | (xDz) < y}))

Distinct variable groups:   x,y,B   x,w,y,z,D   w,X,x,y,z

Proof of Theorem blrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blval.1	. . . . 5 |- X = dom dom D
2	1	blfval2 7836	. . . 4 |- (D e. Met -> ( ball ` D) = {<.<.x, y>., v>. | ((x e. X /\ y e. {w e. RR | 0 < w}) /\ v = {z e. X | (xDz) < y})})
3	2	rneqd 3341	. . 3 |- (D e. Met -> ran ( ball ` D) = ran {<.<.x, y>., v>. | ((x e. X /\ y e. {w e. RR | 0 < w}) /\ v = {z e. X | (xDz) < y})})
4	3	eleq2d 1541	. 2 |- (D e. Met -> (B e. ran ( ball ` D) <-> B e. ran {<.<.x, y>., v>. | ((x e. X /\ y e. {w e. RR | 0 < w}) /\ v = {z e. X | (xDz) < y})}))
5		dmexg 3358	. . . . . . . 8 |- (D e. Met -> dom D e. V)
6		dmexg 3358	. . . . . . . 8 |- (dom D e. V -> dom dom D e. V)
7	5, 6	syl 10	. . . . . . 7 |- (D e. Met -> dom dom D e. V)
8	7, 1	syl5eqel 1552	. . . . . 6 |- (D e. Met -> X e. V)
9		rabexg 2724	. . . . . 6 |- (X e. V -> {z e. X | (xDz) < y} e. V)
10	8, 9	syl 10	. . . . 5 |- (D e. Met -> {z e. X | (xDz) < y} e. V)
11	10	a1d 12	. . . 4 |- (D e. Met -> ((x e. X /\ y e. {w e. RR | 0 < w}) -> {z e. X | (xDz) < y} e. V))
12	11	r19.21aivv 1720	. . 3 |- (D e. Met -> A.x e. X A.y e. {w e. RR | 0 < w}{z e. X | (xDz) < y} e. V)
13		eqid 1475	. . . 4 |- {<.<.x, y>., v>. | ((x e. X /\ y e. {w e. RR | 0 < w}) /\ v = {z e. X | (xDz) < y})} = {<.<.x, y>., v>. | ((x e. X /\ y e. {w e. RR | 0 < w}) /\ v = {z e. X | (xDz) < y})}
14	13	elrnoprabg 4124	. . 3 |- (A.x e. X A.y e. {w e. RR | 0 < w}{z e. X | (xDz) < y} e. V -> (B e. ran {<.<.x, y>., v>. | ((x e. X /\ y e. {w e. RR | 0 < w}) /\ v = {z e. X | (xDz) < y})} <-> E.x e. X E.y e. {w e. RR | 0 < w}B = {z e. X | (xDz) < y}))
15	12, 14	syl 10	. 2 |- (D e. Met -> (B e. ran {<.<.x, y>., v>. | ((x e. X /\ y e. {w e. RR | 0 < w}) /\ v = {z e. X | (xDz) < y})} <-> E.x e. X E.y e. {w e. RR | 0 < w}B = {z e. X | (xDz) < y}))
16	4, 15	bitrd 528	1 |- (D e. Met -> (B e. ran ( ball ` D) <-> E.x e. X E.y e. {w e. RR | 0 < w}B = {z e. X | (xDz) < y}))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  E.wrex 1646  {crab 1648  Vcvv 1811   class class class wbr 2619  dom cdm 3170  ran crn 3171  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  {copab2 3964  RRcr 5233  0cc0 5234   < clt 5486  Metcme 7789   ball cbl 7791

This theorem is referenced by:  blrn2 7842

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-enr 5166  df-nr 5167  df-0r 5171  df-c 5240  df-r 5244  df-bl 7795

Copyright terms: Public domain