Theorem blocn 8475

Description: A linear operator is continuous iff it is bounded. Theorem 2.7-9(a) of [Kreyszig] p. 97.

Hypotheses

Ref	Expression
blocn.8	|- C = (IndMet` U)
blocn.d	|- D = (IndMet` W)
blocn.j	|- J = (Open` C)
blocn.k	|- K = (Open` D)
blocn.5	|- B = (U BLnOp W)
blocn.u	|- U e. NrmCVec
blocn.w	|- W e. NrmCVec
blocn.4	|- L = (U LnOp W)

Assertion

Ref	Expression
blocn	|- (T e. L -> (T e. (J Cn K) <-> T e. B))

Proof of Theorem blocn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1541	. . 3 |- (T = if(T e. L, T, (U 0op W)) -> (T e. (J Cn K) <-> if(T e. L, T, (U 0op W)) e. (J Cn K)))
2		eleq1 1541	. . 3 |- (T = if(T e. L, T, (U 0op W)) -> (T e. B <-> if(T e. L, T, (U 0op W)) e. B))
3	1, 2	bibi12d 632	. 2 |- (T = if(T e. L, T, (U 0op W)) -> ((T e. (J Cn K) <-> T e. B) <-> (if(T e. L, T, (U 0op W)) e. (J Cn K) <-> if(T e. L, T, (U 0op W)) e. B)))
4		blocn.8	. . 3 |- C = (IndMet` U)
5		blocn.d	. . 3 |- D = (IndMet` W)
6		blocn.j	. . 3 |- J = (Open` C)
7		blocn.k	. . 3 |- K = (Open` D)
8		blocn.4	. . 3 |- L = (U LnOp W)
9		blocn.5	. . 3 |- B = (U BLnOp W)
10		blocn.u	. . 3 |- U e. NrmCVec
11		blocn.w	. . 3 |- W e. NrmCVec
12		eqid 1482	. . . . . 6 |- (U 0op W) = (U 0op W)
13	12, 8	0lno 8458	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (U 0op W) e. L)
14	10, 11, 13	mp2an 701	. . . 4 |- (U 0op W) e. L
15	14	elimel 2404	. . 3 |- if(T e. L, T, (U 0op W)) e. L
16	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 15	blocni 8473	. 2 |- (if(T e. L, T, (U 0op W)) e. (J Cn K) <-> if(T e. L, T, (U 0op W)) e. B)
17	3, 16	dedth 2393	1 |- (T e. L -> (T e. (J Cn K) <-> T e. B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   = wceq 960   e. wcel 962  ifcif 2371  ` cfv 3196  (class class class)co 3977   Cn ccn 7761  Opencopn 7801  NrmCVeccnv 8211  IndMetcims 8218   LnOp clno 8409   BLnOp cblo 8411   0op c0o 8412

This theorem is referenced by:  blocn2 8476

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 966  ax-gen 967  ax-8 968  ax-9 969  ax-10 970  ax-11 971  ax-12 972  ax-13 973  ax-14 974  ax-17 975  ax-4 977  ax-5o 979  ax-6o 982  ax-9o 1129  ax-10o 1146  ax-16 1216  ax-11o 1224  ax-ext 1466  ax-rep 2706  ax-sep 2716  ax-nul 2723  ax-pow 2756  ax-pr 2793  ax-un 2880  ax-inf2 4637

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 780  df-3an 781  df-ex 985  df-sb 1178  df-eu 1388  df-mo 1389  df-clab 1471  df-cleq 1476  df-clel 1479  df-ne 1594  df-nel 1595  df-ral 1656  df-rex 1657  df-reu 1658  df-rab 1659  df-v 1819  df-sbc 1949  df-csb 2010  df-dif 2058  df-un 2059  df-in 2060  df-ss 2062  df-pss 2064  df-nul 2290  df-if 2372  df-pw 2412  df-sn 2422  df-pr 2423  df-tp 2425  df-op 2426  df-uni 2516  df-int 2546  df-iun 2580  df-br 2633  df-opab 2680  df-tr 2694  df-eprel 2846  df-id 2849  df-po 2854  df-so 2864  df-fr 2931  df-we 2948  df-ord 2965  df-on 2966  df-lim 2967  df-suc 2968  df-om 3146  df-xp 3198  df-rel 3199  df-cnv 3200  df-co 3201  df-dm 3202  df-rn 3203  df-res 3204  df-ima 3205  df-fun 3206  df-fn 3207  df-f 3208  df-f1 3209  df-fo 3210  df-f1o 3211  df-fv 3212  df-rdg 3946  df-opr 3979  df-oprab 3980  df-1st 4093  df-2nd 4094  df-1o 4147  df-oadd 4149  df-omul 4150  df-er 4275  df-ec 4277  df-qs 4280  df-map 4338  df-en 4382  df-dom 4383  df-sdom 4384  df-sup 4584  df-ni 5013  df-pli 5014  df-mi 5015  df-lti 5016  df-plpq 5048  df-mpq 5049  df-enq 5050  df-nq 5051  df-plq 5052  df-mq 5053  df-rq 5054  df-ltq 5055  df-1q 5056  df-np 5099  df-1p 5100  df-plp 5101  df-mp 5102  df-ltp 5103  df-plpr 5177  df-mpr 5178  df-enr 5179  df-nr 5180  df-plr 5181  df-mr 5182  df-ltr 5183  df-0r 5184  df-1r 5185  df-m1r 5186  df-c 5253  df-0 5254  df-1 5255  df-i 5256  df-r 5257  df-plus 5258  df-mul 5259  df-lt 5260  df-sub 5369  df-neg 5371  df-pnf 5500  df-mnf 5501  df-xr 5502  df-ltxr 5503  df-le 5504  df-div 5716  df-n 5931  df-2 5976  df-n0 6106  df-z 6142  df-seq1 6491  df-exp 6582  df-sqr 6684  df-re 6765  df-im 6766  df-cj 6767  df-abs 6768  df-top 7607  df-cn 7763  df-cnp 7764  df-met 7802  df-bl 7804  df-opn 7805  df-grp 8046  df-gid 8047  df-ginv 8048  df-gdiv 8049  df-abl 8108  df-vc 8173  df-nv 8219  df-va 8222  df-ba 8223  df-sm 8224  df-0v 8225  df-vs 8226  df-nm 8227  df-ims 8228  df-lno 8413  df-nmo 8414  df-blo 8415  df-0o 8416

Copyright terms: Public domain