Theorem blin 7852

Description: The intersection of two balls with the same center is the smaller of them.

Hypothesis

Ref	Expression
blf.1	|- X = dom dom D

Assertion

Ref	Expression
blin	|- (((D e. Met /\ P e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R) /\ (S e. RR /\ 0 < S)) -> ((P( ball ` D)R) i^i (P( ball ` D)S)) = (P( ball ` D)if(R <_ S, R, S)))

Proof of Theorem blin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blf.1	. . . . 5 |- X = dom dom D
2	1	blval 7837	. . . 4 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R)) -> (P( ball ` D)R) = {x e. X | (PDx) < R})
3	2	3adant3 799	. . 3 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R) /\ (S e. RR /\ 0 < S)) -> (P( ball ` D)R) = {x e. X | (PDx) < R})
4	1	blval 7837	. . . 4 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ (S e. RR /\ 0 < S)) -> (P( ball ` D)S) = {x e. X | (PDx) < S})
5	4	3adant2 798	. . 3 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R) /\ (S e. RR /\ 0 < S)) -> (P( ball ` D)S) = {x e. X | (PDx) < S})
6	3, 5	ineq12d 2218	. 2 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R) /\ (S e. RR /\ 0 < S)) -> ((P( ball ` D)R) i^i (P( ball ` D)S)) = ({x e. X | (PDx) < R} i^i {x e. X | (PDx) < S}))
7	1	blval 7837	. . . . . 6 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ (if(R <_ S, R, S) e. RR /\ 0 < if(R <_ S, R, S))) -> (P( ball ` D)if(R <_ S, R, S)) = {x e. X | (PDx) < if(R <_ S, R, S)})
8		eleq1 1534	. . . . . . . 8 |- (R = if(R <_ S, R, S) -> (R e. RR <-> if(R <_ S, R, S) e. RR))
9		breq2 2623	. . . . . . . 8 |- (R = if(R <_ S, R, S) -> (0 < R <-> 0 < if(R <_ S, R, S)))
10	8, 9	anbi12d 628	. . . . . . 7 |- (R = if(R <_ S, R, S) -> ((R e. RR /\ 0 < R) <-> (if(R <_ S, R, S) e. RR /\ 0 < if(R <_ S, R, S))))
11		eleq1 1534	. . . . . . . 8 |- (S = if(R <_ S, R, S) -> (S e. RR <-> if(R <_ S, R, S) e. RR))
12		breq2 2623	. . . . . . . 8 |- (S = if(R <_ S, R, S) -> (0 < S <-> 0 < if(R <_ S, R, S)))
13	11, 12	anbi12d 628	. . . . . . 7 |- (S = if(R <_ S, R, S) -> ((S e. RR /\ 0 < S) <-> (if(R <_ S, R, S) e. RR /\ 0 < if(R <_ S, R, S))))
14	10, 13	ifboth 2375	. . . . . 6 |- (((R e. RR /\ 0 < R) /\ (S e. RR /\ 0 < S)) -> (if(R <_ S, R, S) e. RR /\ 0 < if(R <_ S, R, S)))
15	7, 14	sylan2 451	. . . . 5 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ ((R e. RR /\ 0 < R) /\ (S e. RR /\ 0 < S))) -> (P( ball ` D)if(R <_ S, R, S)) = {x e. X | (PDx) < if(R <_ S, R, S)})
16	15	3impb 829	. . . 4 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R) /\ (S e. RR /\ 0 < S)) -> (P( ball ` D)if(R <_ S, R, S)) = {x e. X | (PDx) < if(R <_ S, R, S)})
17		ltmint 5923	. . . . . . . . 9 |- (((PDx) e. RR /\ R e. RR /\ S e. RR) -> ((PDx) < if(R <_ S, R, S) <-> ((PDx) < R /\ (PDx) < S)))
18	1	metcl 7811	. . . . . . . . . 10 |- ((D e. Met /\ P e. X /\ x e. X) -> (PDx) e. RR)
19	18	3expa 833	. . . . . . . . 9 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ x e. X) -> (PDx) e. RR)
20		pm3.26 319	. . . . . . . . 9 |- ((R e. RR /\ 0 < R) -> R e. RR)
21		pm3.26 319	. . . . . . . . 9 |- ((S e. RR /\ 0 < S) -> S e. RR)
22	17, 19, 20, 21	syl3an 868	. . . . . . . 8 |- ((((D e. Met /\ P e. X) /\ x e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R) /\ (S e. RR /\ 0 < S)) -> ((PDx) < if(R <_ S, R, S) <-> ((PDx) < R /\ (PDx) < S)))
23	22	3expb 834	. . . . . . 7 |- ((((D e. Met /\ P e. X) /\ x e. X) /\ ((R e. RR /\ 0 < R) /\ (S e. RR /\ 0 < S))) -> ((PDx) < if(R <_ S, R, S) <-> ((PDx) < R /\ (PDx) < S)))
24	23	an1rs 489	. . . . . 6 |- ((((D e. Met /\ P e. X) /\ ((R e. RR /\ 0 < R) /\ (S e. RR /\ 0 < S))) /\ x e. X) -> ((PDx) < if(R <_ S, R, S) <-> ((PDx) < R /\ (PDx) < S)))
25	24	rabbidv 1806	. . . . 5 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ ((R e. RR /\ 0 < R) /\ (S e. RR /\ 0 < S))) -> {x e. X | (PDx) < if(R <_ S, R, S)} = {x e. X | ((PDx) < R /\ (PDx) < S)})
26	25	3impb 829	. . . 4 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R) /\ (S e. RR /\ 0 < S)) -> {x e. X | (PDx) < if(R <_ S, R, S)} = {x e. X | ((PDx) < R /\ (PDx) < S)})
27	16, 26	eqtr2d 1508	. . 3 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R) /\ (S e. RR /\ 0 < S)) -> {x e. X | ((PDx) < R /\ (PDx) < S)} = (P( ball ` D)if(R <_ S, R, S)))
28		inrab 2271	. . 3 |- ({x e. X | (PDx) < R} i^i {x e. X | (PDx) < S}) = {x e. X | ((PDx) < R /\ (PDx) < S)}
29	27, 28	syl5eq 1519	. 2 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R) /\ (S e. RR /\ 0 < S)) -> ({x e. X | (PDx) < R} i^i {x e. X | (PDx) < S}) = (P( ball ` D)if(R <_ S, R, S)))
30	6, 29	eqtrd 1507	1 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R) /\ (S e. RR /\ 0 < S)) -> ((P( ball ` D)R) i^i (P( ball ` D)S)) = (P( ball ` D)if(R <_ S, R, S)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  {crab 1648   i^i cin 2046  ifcif 2361   class class class wbr 2619  dom cdm 3170  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  RRcr 5233  0cc0 5234   <_ cle 5295   < clt 5486  Metcme 7789   ball cbl 7791

This theorem is referenced by:  opnin 7869

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-ltp 5090  df-enr 5166  df-nr 5167  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-c 5240  df-r 5244  df-lt 5247  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-met 7793  df-bl 7795

Copyright terms: Public domain