Theorem binom1p 7073

Description: Special case of the binomial theorem for (1 + A)^N. (Contributed by Paul Chapman, 10-May-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
binom1p.1	|- A e. CC

Assertion

Ref	Expression
binom1p	|- (N e. NN0 -> ((1 + A)^N) = sum_k e. (0...N)((N C. k) x. (A^k)))

Distinct variable groups:   A,k   k,N

Proof of Theorem binom1p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax1cn 5269	. . 3 |- 1 e. CC
2		binom1p.1	. . 3 |- A e. CC
3	1, 2	binom 7072	. 2 |- (N e. NN0 -> ((1 + A)^N) = sum_k e. (0...N)((N C. k) x. ((1^(N - k)) x. (A^k))))
4		fznn0subt 6498	. . . . . . 7 |- ((N e. NN0 /\ k e. (0...N)) -> (N - k) e. NN0)
5		1expt 6584	. . . . . . 7 |- ((N - k) e. NN0 -> (1^(N - k)) = 1)
6	4, 5	syl 10	. . . . . 6 |- ((N e. NN0 /\ k e. (0...N)) -> (1^(N - k)) = 1)
7	6	opreq1d 3975	. . . . 5 |- ((N e. NN0 /\ k e. (0...N)) -> ((1^(N - k)) x. (A^k)) = (1 x. (A^k)))
8		elfznn0t 6496	. . . . . . 7 |- (k e. (0...N) -> k e. NN0)
9		expclt 6581	. . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ k e. NN0) -> (A^k) e. CC)
10	2, 9	mpan 695	. . . . . . . 8 |- (k e. NN0 -> (A^k) e. CC)
11		mulid2t 5417	. . . . . . . 8 |- ((A^k) e. CC -> (1 x. (A^k)) = (A^k))
12	10, 11	syl 10	. . . . . . 7 |- (k e. NN0 -> (1 x. (A^k)) = (A^k))
13	8, 12	syl 10	. . . . . 6 |- (k e. (0...N) -> (1 x. (A^k)) = (A^k))
14	13	adantl 388	. . . . 5 |- ((N e. NN0 /\ k e. (0...N)) -> (1 x. (A^k)) = (A^k))
15	7, 14	eqtrd 1507	. . . 4 |- ((N e. NN0 /\ k e. (0...N)) -> ((1^(N - k)) x. (A^k)) = (A^k))
16	15	opreq2d 3976	. . 3 |- ((N e. NN0 /\ k e. (0...N)) -> ((N C. k) x. ((1^(N - k)) x. (A^k))) = ((N C. k) x. (A^k)))
17	16	sumeq2dv 6992	. 2 |- (N e. NN0 -> sum_k e. (0...N)((N C. k) x. ((1^(N - k)) x. (A^k))) = sum_k e. (0...N)((N C. k) x. (A^k)))
18	3, 17	eqtrd 1507	1 |- (N e. NN0 -> ((1 + A)^N) = sum_k e. (0...N)((N C. k) x. (A^k)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  (class class class)co 3963  CCcc 5232  0cc0 5234  1c1 5235   + caddc 5237   x. cmul 5239   - cmin 5292  NN0cn0 5297  ...cfz 6467  ^cexp 6568   C. cbc 6956  sum_csu 6979

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-shft 6341  df-uz 6418  df-fz 6468  df-seqz 6533  df-exp 6569  df-fac 6932  df-bc 6957  df-sum 6980

Copyright terms: Public domain