Theorem bdoplnt 9788

Description: A bounded linear Hilbert space operator is a linear operator.

Assertion

Ref	Expression
bdoplnt	|- (T e. BndLinOp -> T e. LinOp)

Proof of Theorem bdoplnt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elbdopt 9787	. 2 |- (T e. BndLinOp <-> (T e. LinOp /\ (normop` T) < +oo))
2	1	pm3.26bi 322	1 |- (T e. BndLinOp -> T e. LinOp)

Syntax hints:   -> wi 3   e. wcel 958   class class class wbr 2619  ` cfv 3182   +oocpnf 5483   < clt 5486  norm_opcnop 8814  LinOpclo 8816  BndLinOpcbo 8817

This theorem is referenced by:  bdopft 9789  nmbdoplb 9949  bdophm 9962  lncnopbd 9966  nmopco 10028  bdophs 10029  bdopco 10031  nmopcoadj0 10036  unierr 10037

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-hilex 8869

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-opr 3965  df-lnop 9767  df-bdop 9768

Copyright terms: Public domain