Theorem bcval4t 6899

Description: Value of the binomial coefficient, N choose K, outside of its standard domain. Remark in [Gleason] p. 295.

Assertion

Ref	Expression
bcval4t	|- ((N e. NN0 /\ K e. ZZ /\ (K < 0 \/ N < K)) -> (N C. K) = 0)

Proof of Theorem bcval4t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 5412	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
2		ltnlet 5483	. . . . . . . 8 |- ((K e. RR /\ 0 e. RR) -> (K < 0 <-> -. 0 <_ K))
3	1, 2	mpan2 694	. . . . . . 7 |- (K e. RR -> (K < 0 <-> -. 0 <_ K))
4	3	adantl 388	. . . . . 6 |- ((N e. RR /\ K e. RR) -> (K < 0 <-> -. 0 <_ K))
5		ltnlet 5483	. . . . . 6 |- ((N e. RR /\ K e. RR) -> (N < K <-> -. K <_ N))
6	4, 5	orbi12d 625	. . . . 5 |- ((N e. RR /\ K e. RR) -> ((K < 0 \/ N < K) <-> (-. 0 <_ K \/ -. K <_ N)))
7		nn0ret 6055	. . . . 5 |- (N e. NN0 -> N e. RR)
8		zret 6086	. . . . 5 |- (K e. ZZ -> K e. RR)
9	6, 7, 8	syl2an 454	. . . 4 |- ((N e. NN0 /\ K e. ZZ) -> ((K < 0 \/ N < K) <-> (-. 0 <_ K \/ -. K <_ N)))
10	9	biimpa 416	. . 3 |- (((N e. NN0 /\ K e. ZZ) /\ (K < 0 \/ N < K)) -> (-. 0 <_ K \/ -. K <_ N))
11		bcvalt 6895	. . . . 5 |- ((N e. NN0 /\ K e. ZZ) -> (N C. K) = if((0 <_ K /\ K <_ N), ((!` N) / ((!` (N - K)) x. (!` K))), 0))
12		iffalse 2357	. . . . 5 |- (-. (0 <_ K /\ K <_ N) -> if((0 <_ K /\ K <_ N), ((!` N) / ((!` (N - K)) x. (!` K))), 0) = 0)
13	11, 12	sylan9eq 1519	. . . 4 |- (((N e. NN0 /\ K e. ZZ) /\ -. (0 <_ K /\ K <_ N)) -> (N C. K) = 0)
14		ianor 305	. . . 4 |- (-. (0 <_ K /\ K <_ N) <-> (-. 0 <_ K \/ -. K <_ N))
15	13, 14	sylan2br 453	. . 3 |- (((N e. NN0 /\ K e. ZZ) /\ (-. 0 <_ K \/ -. K <_ N)) -> (N C. K) = 0)
16	10, 15	syldan 467	. 2 |- (((N e. NN0 /\ K e. ZZ) /\ (K < 0 \/ N < K)) -> (N C. K) = 0)
17	16	3impa 826	1 |- ((N e. NN0 /\ K e. ZZ /\ (K < 0 \/ N < K)) -> (N C. K) = 0)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955  ifcif 2351   class class class wbr 2609  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  RRcr 5205  0cc0 5206   x. cmul 5211   - cmin 5264   / cdiv 5266   <_ cle 5267  NN0cn0 5269  ZZcz 5270   < clt 5458  !cfa 6868   C. cbc 6893

This theorem is referenced by:  bcpasc 6907

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-sub 5328  df-neg 5330  df-xr 5461  df-le 5463  df-n 5873  df-n0 6047  df-z 6083  df-bc 6894

Copyright terms: Public domain