Theorem bcthlem8 7940

Description: Lemma for bcth 7966. Any open nonempty set includes a ball of radius less than 1 / (2^k).

Hypotheses

Ref	Expression
bcthlem6.1	|- D e. CMet
bcthlem6.3	|- X = dom dom D
bcthlem6.4	|- J = (Open` D)

Assertion

Ref	Expression
bcthlem8	|- ((M =/= (/) /\ M e. J /\ K e. NN) -> E.p e. M E.x e. RR (0 < x /\ x < (1 / (2^K)) /\ (p( ball ` D)x) (_ M))

Distinct variable groups:   x,D   x,p,J   x,K,p   x,M,p   x,X

Proof of Theorem bcthlem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bcthlem6.4	. . . . . . . . . . 11 |- J = (Open` D)
2	1	opni3 7806	. . . . . . . . . 10 |- (((D e. Met /\ M e. J /\ p e. M) /\ ((1 / (2^K)) e. RR /\ 0 < (1 / (2^K)))) -> E.x e. RR (0 < x /\ x < (1 / (2^K)) /\ (p( ball ` D)x) (_ M))
3		bcthlem6.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- D e. CMet
4	3	cmsmeti 7897	. . . . . . . . . . . 12 |- D e. Met
5	4	a1i 8	. . . . . . . . . . 11 |- ((M e. J /\ p e. M) -> D e. Met)
6		pm3.26 319	. . . . . . . . . . 11 |- ((M e. J /\ p e. M) -> M e. J)
7		pm3.27 323	. . . . . . . . . . 11 |- ((M e. J /\ p e. M) -> p e. M)
8	5, 6, 7	3jca 817	. . . . . . . . . 10 |- ((M e. J /\ p e. M) -> (D e. Met /\ M e. J /\ p e. M))
9		nnnn0t 6053	. . . . . . . . . . 11 |- (K e. NN -> K e. NN0)
10		rerecclt 5759	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((2^K) e. RR /\ (2^K) =/= 0) -> (1 / (2^K)) e. RR)
11		2re 5926	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. RR
12		reexpclt 6512	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((2 e. RR /\ K e. NN0) -> (2^K) e. RR)
13	11, 12	mpan 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- (K e. NN0 -> (2^K) e. RR)
14		gt0ne0t 5592	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((2^K) e. RR /\ 0 < (2^K)) -> (2^K) =/= 0)
15		2pos 5936	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 < 2
16		expgt0t 6520	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((2 e. RR /\ K e. NN0 /\ 0 < 2) -> 0 < (2^K))
17	11, 15, 16	mp3an13 904	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (K e. NN0 -> 0 < (2^K))
18	14, 13, 17	sylanc 471	. . . . . . . . . . . . 13 |- (K e. NN0 -> (2^K) =/= 0)
19	10, 13, 18	sylanc 471	. . . . . . . . . . . 12 |- (K e. NN0 -> (1 / (2^K)) e. RR)
20		recgt0t 5815	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((2^K) e. RR /\ 0 < (2^K)) -> 0 < (1 / (2^K)))
21	20, 13, 17	sylanc 471	. . . . . . . . . . . 12 |- (K e. NN0 -> 0 < (1 / (2^K)))
22	19, 21	jca 288	. . . . . . . . . . 11 |- (K e. NN0 -> ((1 / (2^K)) e. RR /\ 0 < (1 / (2^K))))
23	9, 22	syl 10	. . . . . . . . . 10 |- (K e. NN -> ((1 / (2^K)) e. RR /\ 0 < (1 / (2^K))))
24	2, 8, 23	syl2an 454	. . . . . . . . 9 |- (((M e. J /\ p e. M) /\ K e. NN) -> E.x e. RR (0 < x /\ x < (1 / (2^K)) /\ (p( ball ` D)x) (_ M))
25	24	an1rs 488	. . . . . . . 8 |- (((M e. J /\ K e. NN) /\ p e. M) -> E.x e. RR (0 < x /\ x < (1 / (2^K)) /\ (p( ball ` D)x) (_ M))
26	25	ex 373	. . . . . . 7 |- ((M e. J /\ K e. NN) -> (p e. M -> E.x e. RR (0 < x /\ x < (1 / (2^K)) /\ (p( ball ` D)x) (_ M)))
27	26	ancld 298	. . . . . 6 |- ((M e. J /\ K e. NN) -> (p e. M -> (p e. M /\ E.x e. RR (0 < x /\ x < (1 / (2^K)) /\ (p( ball ` D)x) (_ M))))
28	27	19.22dv 1285	. . . . 5 |- ((M e. J /\ K e. NN) -> (E.p p e. M -> E.p(p e. M /\ E.x e. RR (0 < x /\ x < (1 / (2^K)) /\ (p( ball ` D)x) (_ M))))
29		ne0 2278	. . . . 5 |- (M =/= (/) <-> E.p p e. M)
30	28, 29	syl5ib 206	. . . 4 |- ((M e. J /\ K e. NN) -> (M =/= (/) -> E.p(p e. M /\ E.x e. RR (0 < x /\ x < (1 / (2^K)) /\ (p( ball ` D)x) (_ M))))
31	30	3impia 828	. . 3 |- ((M e. J /\ K e. NN /\ M =/= (/)) -> E.p(p e. M /\ E.x e. RR (0 < x /\ x < (1 / (2^K)) /\ (p( ball ` D)x) (_ M)))
32	31	3comr 839	. 2 |- ((M =/= (/) /\ M e. J /\ K e. NN) -> E.p(p e. M /\ E.x e. RR (0 < x /\ x < (1 / (2^K)) /\ (p( ball ` D)x) (_ M)))
33		df-rex 1642	. 2 |- (E.p e. M E.x e. RR (0 < x /\ x < (1 / (2^K)) /\ (p( ball ` D)x) (_ M) <-> E.p(p e. M /\ E.x e. RR (0 < x /\ x < (1 / (2^K)) /\ (p( ball ` D)x) (_ M)))
34	32, 33	sylibr 200	1 |- ((M =/= (/) /\ M e. J /\ K e. NN) -> E.p e. M E.x e. RR (0 < x /\ x < (1 / (2^K)) /\ (p( ball ` D)x) (_ M))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977   =/= wne 1577  E.wrex 1638   (_ wss 2037  (/)c0 2270   class class class wbr 2609  dom cdm 3160  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  RRcr 5205  0cc0 5206  1c1 5207   / cdiv 5266  NNcn 5268  NN0cn0 5269   < clt 5458  2c2 5908  ^cexp 6500  Metcme 7728   ball cbl 7730  Opencopn 7731  CMetcms 7859

This theorem is referenced by:  bcthlem33 7965

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-n0 6047  df-z 6083  df-seq1 6245  df-exp 6501  df-met 7732  df-bl 7734  df-opn 7735  df-cmet 7862

Copyright terms: Public domain