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Theorem bccmplt 6908
Description: "Complementing" its second argument doesn't change a binary coefficient.
Assertion
Ref Expression
bccmplt |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N) -> (N C. K) = (N C. (N - K)))
Proof of Theorem bccmplt
StepHypRef Expression
1 axmulcom 5256 . . . . 5 |- (((!` (N - K)) e. CC /\ (!` K) e. CC) -> ((!` (N - K)) x. (!` K)) = ((!` K) x. (!` (N - K))))
2 nn0subt 6116 . . . . . . . 8 |- ((K e. NN0 /\ N e. NN0) -> (K <_ N <-> (N - K) e. NN0))
32ancoms 436 . . . . . . 7 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0) -> (K <_ N <-> (N - K) e. NN0))
43biimp3a 917 . . . . . 6 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N) -> (N - K) e. NN0)
5 facclt 6885 . . . . . 6 |- ((N - K) e. NN0 -> (!` (N - K)) e. NN)
6 nncnt 5886 . . . . . 6 |- ((!` (N - K)) e. NN -> (!` (N - K)) e. CC)
74, 5, 63syl 20 . . . . 5 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N) -> (!` (N - K)) e. CC)
8 facclt 6885 . . . . . . 7 |- (K e. NN0 -> (!` K) e. NN)
9 nncnt 5886 . . . . . . 7 |- ((!` K) e. NN -> (!` K) e. CC)
108, 9syl 10 . . . . . 6 |- (K e. NN0 -> (!` K) e. CC)
11103ad2ant2 800 . . . . 5 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N) -> (!` K) e. CC)
121, 7, 11sylanc 471 . . . 4 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N) -> ((!` (N - K)) x. (!` K)) = ((!` K) x. (!` (N - K))))
13 nncant 5449 . . . . . . . 8 |- ((N e. CC /\ K e. CC) -> (N - (N - K)) = K)
14 nn0cnt 6064 . . . . . . . 8 |- (N e. NN0 -> N e. CC)
15 nn0cnt 6064 . . . . . . . 8 |- (K e. NN0 -> K e. CC)
1613, 14, 15syl2an 454 . . . . . . 7 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0) -> (N - (N - K)) = K)
1716fveq2d 3719 . . . . . 6 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0) -> (!` (N - (N - K))) = (!` K))
18173adant3 798 . . . . 5 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N) -> (!` (N - (N - K))) = (!` K))
1918opreq1d 3966 . . . 4 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N) -> ((!` (N - (N - K))) x. (!` (N - K))) = ((!` K) x. (!` (N - K))))
2012, 19eqtr4d 1507 . . 3 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N) -> ((!` (N - K)) x. (!` K)) = ((!` (N - (N - K))) x. (!` (N - K))))
2120opreq2d 3967 . 2 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N) -> ((!` N) / ((!` (N - K)) x. (!` K))) = ((!` N) / ((!` (N - (N - K))) x. (!` (N - K)))))
22 bcval2t 6905 . 2 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N) -> (N C. K) = ((!` N) / ((!` (N - K)) x. (!` K))))
23 bcval2t 6905 . . 3 |- ((N e. NN0 /\ (N - K) e. NN0 /\ (N - K) <_ N) -> (N C. (N - K)) = ((!` N) / ((!` (N - (N - K))) x. (!` (N - K)))))
24 3simp1 787 . . 3 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N) -> N e. NN0)
25 nn0addge1t 6085 . . . . . 6 |- ((N e. RR /\ K e. NN0) -> N <_ (N + K))
26 lesubaddt 5611 . . . . . . . 8 |- ((N e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR) -> ((N - K) <_ N <-> N <_ (N + K)))
27263anidm13 881 . . . . . . 7 |- ((N e. RR /\ K e. RR) -> ((N - K) <_ N <-> N <_ (N + K)))
28 nn0ret 6063 . . . . . . 7 |- (K e. NN0 -> K e. RR)
2927, 28sylan2 451 . . . . . 6 |- ((N e. RR /\ K e. NN0) -> ((N - K) <_ N <-> N <_ (N + K)))
3025, 29mpbird 196 . . . . 5 |- ((N e. RR /\ K e. NN0) -> (N - K) <_ N)
31 nn0ret 6063 . . . . 5 |- (N e. NN0 -> N e. RR)
3230, 31sylan 448 . . . 4 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0) -> (N - K) <_ N)
33323adant3 798 . . 3 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N) -> (N - K) <_ N)
3423, 24, 4, 33syl3anc 857 . 2 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N) -> (N C. (N - K)) = ((!` N) / ((!` (N - (N - K))) x. (!` (N - K)))))
3521, 22, 343eqtr4d 1514 1 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N) -> (N C. K) = (N C. (N - K)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 954   e. wcel 956   class class class wbr 2614  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  CCcc 5212  RRcr 5213   + caddc 5217   x. cmul 5219   - cmin 5272   / cdiv 5274   <_ cle 5275  NNcn 5276  NN0cn0 5277  !cfa 6876   C. cbc 6901
This theorem is referenced by:  bcnnt 6910  bcnp1nt 6912
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-n 5881  df-n0 6055  df-z 6091  df-seq1 6253  df-fac 6877  df-bc 6902
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