Theorem axrrecex 5207

Description: Existence of reciprocal of nonzero real number. Axiom 18 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axrrecex	|- ((A e. RR /\ A =/= 0) -> E.x e. RR (A x. x) = 1)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem axrrecex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 5173	. . 3 |- (A e. RR <-> E.y(y e. R. /\ <.y, 0R>. = A))
2		neeq1 1566	. . . 4 |- (<.y, 0R>. = A -> (<.y, 0R>. =/= 0 <-> A =/= 0))
3		opreq1 3907	. . . . . 6 |- (<.y, 0R>. = A -> (<.y, 0R>. x. x) = (A x. x))
4	3	eqeq1d 1459	. . . . 5 |- (<.y, 0R>. = A -> ((<.y, 0R>. x. x) = 1 <-> (A x. x) = 1))
5	4	rexbidv 1640	. . . 4 |- (<.y, 0R>. = A -> (E.x e. RR (<.y, 0R>. x. x) = 1 <-> E.x e. RR (A x. x) = 1))
6	2, 5	imbi12d 624	. . 3 |- (<.y, 0R>. = A -> ((<.y, 0R>. =/= 0 -> E.x e. RR (<.y, 0R>. x. x) = 1) <-> (A =/= 0 -> E.x e. RR (A x. x) = 1)))
7		visset 1788	. . . . . . 7 |- y e. V
8	7	recexsr 5139	. . . . . 6 |- (y e. R. -> (-. y = 0R -> E.z(z e. R. /\ (y .R z) = 1R)))
9		visset 1788	. . . . . . . . . . . . 13 |- z e. V
10	9	mulresr 5180	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. R. /\ z e. R.) -> (<.y, 0R>. x. <.z, 0R>.) = <.(y .R z), 0R>.)
11	10	eqeq1d 1459	. . . . . . . . . . 11 |- ((y e. R. /\ z e. R.) -> ((<.y, 0R>. x. <.z, 0R>.) = 1 <-> <.(y .R z), 0R>. = 1))
12		df-1 5165	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 = <.1R, 0R>.
13	12	eqeq2i 1461	. . . . . . . . . . . 12 |- (<.(y .R z), 0R>. = 1 <-> <.(y .R z), 0R>. = <.1R, 0R>.)
14		oprex 3922	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y .R z) e. V
15	14	eqresr 5178	. . . . . . . . . . . 12 |- (<.(y .R z), 0R>. = <.1R, 0R>. <-> (y .R z) = 1R)
16	13, 15	bitr 173	. . . . . . . . . . 11 |- (<.(y .R z), 0R>. = 1 <-> (y .R z) = 1R)
17	11, 16	syl6bb 534	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. R. /\ z e. R.) -> ((<.y, 0R>. x. <.z, 0R>.) = 1 <-> (y .R z) = 1R))
18	17	pm5.32da 647	. . . . . . . . 9 |- (y e. R. -> ((z e. R. /\ (<.y, 0R>. x. <.z, 0R>.) = 1) <-> (z e. R. /\ (y .R z) = 1R)))
19		opelreal 5172	. . . . . . . . . 10 |- (<.z, 0R>. e. RR <-> z e. R.)
20	19	anbi1i 480	. . . . . . . . 9 |- ((<.z, 0R>. e. RR /\ (<.y, 0R>. x. <.z, 0R>.) = 1) <-> (z e. R. /\ (<.y, 0R>. x. <.z, 0R>.) = 1))
21	18, 20	syl5bb 530	. . . . . . . 8 |- (y e. R. -> ((<.z, 0R>. e. RR /\ (<.y, 0R>. x. <.z, 0R>.) = 1) <-> (z e. R. /\ (y .R z) = 1R)))
22		opex 2750	. . . . . . . . 9 |- <.z, 0R>. e. V
23		eleq1 1510	. . . . . . . . . 10 |- (x = <.z, 0R>. -> (x e. RR <-> <.z, 0R>. e. RR))
24		opreq2 3908	. . . . . . . . . . 11 |- (x = <.z, 0R>. -> (<.y, 0R>. x. x) = (<.y, 0R>. x. <.z, 0R>.))
25	24	eqeq1d 1459	. . . . . . . . . 10 |- (x = <.z, 0R>. -> ((<.y, 0R>. x. x) = 1 <-> (<.y, 0R>. x. <.z, 0R>.) = 1))
26	23, 25	anbi12d 626	. . . . . . . . 9 |- (x = <.z, 0R>. -> ((x e. RR /\ (<.y, 0R>. x. x) = 1) <-> (<.z, 0R>. e. RR /\ (<.y, 0R>. x. <.z, 0R>.) = 1)))
27	22, 26	cla4ev 1842	. . . . . . . 8 |- ((<.z, 0R>. e. RR /\ (<.y, 0R>. x. <.z, 0R>.) = 1) -> E.x(x e. RR /\ (<.y, 0R>. x. x) = 1))
28	21, 27	syl6bir 215	. . . . . . 7 |- (y e. R. -> ((z e. R. /\ (y .R z) = 1R) -> E.x(x e. RR /\ (<.y, 0R>. x. x) = 1)))
29	28	19.23adv 1198	. . . . . 6 |- (y e. R. -> (E.z(z e. R. /\ (y .R z) = 1R) -> E.x(x e. RR /\ (<.y, 0R>. x. x) = 1)))
30	8, 29	syld 27	. . . . 5 |- (y e. R. -> (-. y = 0R -> E.x(x e. RR /\ (<.y, 0R>. x. x) = 1)))
31		df-0 5164	. . . . . . . 8 |- 0 = <.0R, 0R>.
32	31	eqeq2i 1461	. . . . . . 7 |- (<.y, 0R>. = 0 <-> <.y, 0R>. = <.0R, 0R>.)
33	7	eqresr 5178	. . . . . . 7 |- (<.y, 0R>. = <.0R, 0R>. <-> y = 0R)
34	32, 33	bitr 173	. . . . . 6 |- (<.y, 0R>. = 0 <-> y = 0R)
35	34	negbii 187	. . . . 5 |- (-. <.y, 0R>. = 0 <-> -. y = 0R)
36	30, 35	syl5ib 206	. . . 4 |- (y e. R. -> (-. <.y, 0R>. = 0 -> E.x(x e. RR /\ (<.y, 0R>. x. x) = 1)))
37		df-ne 1563	. . . 4 |- (<.y, 0R>. =/= 0 <-> -. <.y, 0R>. = 0)
38		df-rex 1626	. . . 4 |- (E.x e. RR (<.y, 0R>. x. x) = 1 <-> E.x(x e. RR /\ (<.y, 0R>. x. x) = 1))
39	36, 37, 38	3imtr4g 551	. . 3 |- (y e. R. -> (<.y, 0R>. =/= 0 -> E.x e. RR (<.y, 0R>. x. x) = 1))
40	1, 6, 39	gencl 1803	. 2 |- (A e. RR -> (A =/= 0 -> E.x e. RR (A x. x) = 1))
41	40	imp 350	1 |- ((A e. RR /\ A =/= 0) -> E.x e. RR (A x. x) = 1)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223  E.wex 956   = wceq 1099   e. wcel 1105   =/= wne 1561  E.wrex 1622  <.cop 2382  (class class class)co 3902  R.cnr 4916  0Rc0r 4917  1Rc1r 4918   .R cmr 4921  RRcr 5156  0cc0 5157  1c1 5158   x. cmul 5162

This theorem is referenced by:  1re 5358  recext 5608  redivcl 5705

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-rep 2661  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747  ax-un 2830  ax-inf2 4549

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 773  df-3an 774  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-ral 1625  df-rex 1626  df-reu 1627  df-rab 1628  df-v 1787  df-sbc 1913  df-csb 1973  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-pss 2026  df-nul 2252  df-if 2333  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-tp 2386  df-op 2387  df-uni 2472  df-int 2502  df-iun 2536  df-br 2588  df-opab 2635  df-tr 2649  df-eprel 2794  df-id 2797  df-po 2804  df-so 2814  df-fr 2880  df-we 2897  df-ord 2914  df-on 2915  df-lim 2916  df-suc 2917  df-om 3095  df-xp 3147  df-rel 3148  df-cnv 3149  df-co 3150  df-dm 3151  df-rn 3152  df-res 3153  df-ima 3154  df-fun 3155  df-fn 3156  df-f 3157  df-fv 3161  df-rdg 3871  df-opr 3904  df-oprab 3905  df-1st 4017  df-2nd 4018  df-1o 4071  df-oadd 4073  df-omul 4074  df-er 4199  df-ec 4201  df-qs 4204  df-ni 4923  df-pli 4924  df-mi 4925  df-lti 4926  df-plpq 4958  df-mpq 4959  df-enq 4960  df-nq 4961  df-plq 4962  df-mq 4963  df-rq 4964  df-ltq 4965  df-1q 4966  df-np 5009  df-1p 5010  df-plp 5011  df-mp 5012  df-ltp 5013  df-plpr 5087  df-mpr 5088  df-enr 5089  df-nr 5090  df-plr 5091  df-mr 5092  df-ltr 5093  df-0r 5094  df-1r 5095  df-m1r 5096  df-c 5163  df-0 5164  df-1 5165  df-r 5167  df-mul 5169

Copyright terms: Public domain