Theorem axrnegex 6232

Description: Existence of negative of real number. Axiom 17 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axrnegex	|- (A e. RR -> E.x e. RR (A + x) = 0)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem axrnegex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 6198	. 2 |- (A e. RR <-> E.y(y e. R. /\ <.y, 0R>. = A))
2		opreq1 4700	. . . 4 |- (<.y, 0R>. = A -> (<.y, 0R>. + x) = (A + x))
3	2	eqeq1d 1729	. . 3 |- (<.y, 0R>. = A -> ((<.y, 0R>. + x) = 0 <-> (A + x) = 0))
4	3	rexbidv 1958	. 2 |- (<.y, 0R>. = A -> (E.x e. RR (<.y, 0R>. + x) = 0 <-> E.x e. RR (A + x) = 0))
5		negexsr 6159	. . 3 |- (y e. R. -> E.z(z e. R. /\ (y +R z) = 0R))
6		addresr 6204	. . . . . . . 8 |- ((y e. R. /\ z e. R.) -> (<.y, 0R>. + <.z, 0R>.) = <.(y +R z), 0R>.)
7	6	eqeq1d 1729	. . . . . . 7 |- ((y e. R. /\ z e. R.) -> ((<.y, 0R>. + <.z, 0R>.) = 0 <-> <.(y +R z), 0R>. = 0))
8		df-0 6189	. . . . . . . . 9 |- 0 = <.0R, 0R>.
9	8	eqeq2i 1731	. . . . . . . 8 |- (<.(y +R z), 0R>. = 0 <-> <.(y +R z), 0R>. = <.0R, 0R>.)
10		oprex 4718	. . . . . . . . 9 |- (y +R z) e. _V
11	10	eqresr 6203	. . . . . . . 8 |- (<.(y +R z), 0R>. = <.0R, 0R>. <-> (y +R z) = 0R)
12	9, 11	bitri 189	. . . . . . 7 |- (<.(y +R z), 0R>. = 0 <-> (y +R z) = 0R)
13	7, 12	syl6bb 592	. . . . . 6 |- ((y e. R. /\ z e. R.) -> ((<.y, 0R>. + <.z, 0R>.) = 0 <-> (y +R z) = 0R))
14	13	pm5.32da 708	. . . . 5 |- (y e. R. -> ((z e. R. /\ (<.y, 0R>. + <.z, 0R>.) = 0) <-> (z e. R. /\ (y +R z) = 0R)))
15		opex 3342	. . . . . . . 8 |- <.z, 0R>. e. _V
16		eleq1 1794	. . . . . . . . 9 |- (x = <.z, 0R>. -> (x e. RR <-> <.z, 0R>. e. RR))
17		opreq2 4701	. . . . . . . . . 10 |- (x = <.z, 0R>. -> (<.y, 0R>. + x) = (<.y, 0R>. + <.z, 0R>.))
18	17	eqeq1d 1729	. . . . . . . . 9 |- (x = <.z, 0R>. -> ((<.y, 0R>. + x) = 0 <-> (<.y, 0R>. + <.z, 0R>.) = 0))
19	16, 18	anbi12d 687	. . . . . . . 8 |- (x = <.z, 0R>. -> ((x e. RR /\ (<.y, 0R>. + x) = 0) <-> (<.z, 0R>. e. RR /\ (<.y, 0R>. + <.z, 0R>.) = 0)))
20	15, 19	cla4ev 2204	. . . . . . 7 |- ((<.z, 0R>. e. RR /\ (<.y, 0R>. + <.z, 0R>.) = 0) -> E.x(x e. RR /\ (<.y, 0R>. + x) = 0))
21		opelreal 6197	. . . . . . 7 |- (<.z, 0R>. e. RR <-> z e. R.)
22	20, 21	sylanbr 497	. . . . . 6 |- ((z e. R. /\ (<.y, 0R>. + <.z, 0R>.) = 0) -> E.x(x e. RR /\ (<.y, 0R>. + x) = 0))
23		df-rex 1944	. . . . . 6 |- (E.x e. RR (<.y, 0R>. + x) = 0 <-> E.x(x e. RR /\ (<.y, 0R>. + x) = 0))
24	22, 23	sylibr 216	. . . . 5 |- ((z e. R. /\ (<.y, 0R>. + <.z, 0R>.) = 0) -> E.x e. RR (<.y, 0R>. + x) = 0)
25	14, 24	syl6bir 231	. . . 4 |- (y e. R. -> ((z e. R. /\ (y +R z) = 0R) -> E.x e. RR (<.y, 0R>. + x) = 0))
26	25	19.23adv 1422	. . 3 |- (y e. R. -> (E.z(z e. R. /\ (y +R z) = 0R) -> E.x e. RR (<.y, 0R>. + x) = 0))
27	5, 26	mpd 29	. 2 |- (y e. R. -> E.x e. RR (<.y, 0R>. + x) = 0)
28	1, 4, 27	gencl 2151	1 |- (A e. RR -> E.x e. RR (A + x) = 0)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 239   = wceq 1136   e. wcel 1138  E.wex 1164  E.wrex 1940  <.cop 2870  (class class class)co 4695  R.cnr 5941  0Rc0r 5942   +R cplr 5945  RRcr 6181  0cc0 6182   + caddc 6185

This theorem is referenced by:  cnegexlem1 6295  cnegexlem2 6296  cnegexlem3 6297  cnegex 6298  renegcli 6372  renegcliOLD 6373  0re 6399

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1142  ax-gen 1143  ax-8 1144  ax-9 1145  ax-10 1146  ax-11 1147  ax-12 1148  ax-13 1149  ax-14 1150  ax-17 1155  ax-4 1157  ax-5o 1159  ax-6o 1162  ax-9o 1319  ax-10o 1338  ax-16 1418  ax-11o 1426  ax-ext 1702  ax-rep 3243  ax-sep 3253  ax-nul 3260  ax-pow 3296  ax-pr 3339  ax-un 3601  ax-inf2 5540

This theorem depends on definitions:  df-bi 163  df-or 240  df-an 241  df-3or 856  df-3an 857  df-ex 1165  df-sb 1374  df-eu 1613  df-mo 1614  df-clab 1709  df-cleq 1714  df-clel 1717  df-ne 1856  df-ral 1943  df-rex 1944  df-reu 1945  df-rab 1946  df-v 2127  df-sbc 2287  df-csb 2374  df-dif 2430  df-un 2433  df-in 2436  df-ss 2438  df-pss 2440  df-nul 2702  df-if 2807  df-pw 2859  df-sn 2873  df-pr 2874  df-tp 2876  df-op 2877  df-uni 3000  df-int 3037  df-iun 3079  df-br 3159  df-opab 3214  df-tr 3230  df-eprel 3398  df-id 3401  df-po 3406  df-so 3419  df-fr 3440  df-we 3459  df-ord 3475  df-on 3476  df-lim 3477  df-suc 3478  df-om 3761  df-xp 3811  df-rel 3812  df-cnv 3813  df-co 3814  df-dm 3815  df-rn 3816  df-res 3817  df-ima 3818  df-fun 3819  df-fn 3820  df-f 3821  df-fv 3825  df-opr 4697  df-oprab 4698  df-1st 4831  df-2nd 4832  df-rdg 4951  df-1o 4988  df-oadd 4990  df-omul 4991  df-er 5129  df-ec 5131  df-qs 5134  df-ni 5948  df-pli 5949  df-mi 5950  df-lti 5951  df-plpq 5983  df-mpq 5984  df-enq 5985  df-nq 5986  df-plq 5987  df-mq 5988  df-rq 5989  df-ltq 5990  df-1q 5991  df-np 6034  df-1p 6035  df-plp 6036  df-mp 6037  df-ltp 6038  df-plpr 6112  df-mpr 6113  df-enr 6114  df-nr 6115  df-plr 6116  df-mr 6117  df-0r 6119  df-1r 6120  df-m1r 6121  df-c 6188  df-0 6189  df-r 6192  df-plus 6193

Copyright terms: Public domain