Theorem axregnd 4956

Description: A version of the Axiom of Regularity with no distinct variable conditions.

Assertion

Ref	Expression
axregnd	|- (x e. y -> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y)))

Proof of Theorem axregnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbnae 1147	. . . . . 6 |- (-. A.z z = x -> A.x -. A.z z = x)
2		hbnae 1147	. . . . . 6 |- (-. A.z z = y -> A.x -. A.z z = y)
3	1, 2	hban 1009	. . . . 5 |- ((-. A.z z = x /\ -. A.z z = y) -> A.x(-. A.z z = x /\ -. A.z z = y))
4		hbnae 1147	. . . . . . . 8 |- (-. A.z z = x -> A.z -. A.z z = x)
5		hbnae 1147	. . . . . . . 8 |- (-. A.z z = y -> A.z -. A.z z = y)
6	4, 5	hban 1009	. . . . . . 7 |- ((-. A.z z = x /\ -. A.z z = y) -> A.z(-. A.z z = x /\ -. A.z z = y))
7		dveel2 1357	. . . . . . . . 9 |- (-. A.z z = x -> (w e. x -> A.z w e. x))
8	7	adantr 389	. . . . . . . 8 |- ((-. A.z z = x /\ -. A.z z = y) -> (w e. x -> A.z w e. x))
9		dveel2 1357	. . . . . . . . . 10 |- (-. A.z z = y -> (w e. y -> A.z w e. y))
10	9	adantl 388	. . . . . . . . 9 |- ((-. A.z z = x /\ -. A.z z = y) -> (w e. y -> A.z w e. y))
11	6, 10	hbnd 1109	. . . . . . . 8 |- ((-. A.z z = x /\ -. A.z z = y) -> (-. w e. y -> A.z -. w e. y))
12	6, 8, 11	hbimd 1110	. . . . . . 7 |- ((-. A.z z = x /\ -. A.z z = y) -> ((w e. x -> -. w e. y) -> A.z(w e. x -> -. w e. y)))
13		elequ1 1136	. . . . . . . . 9 |- (w = z -> (w e. x <-> z e. x))
14		elequ1 1136	. . . . . . . . . 10 |- (w = z -> (w e. y <-> z e. y))
15	14	negbid 611	. . . . . . . . 9 |- (w = z -> (-. w e. y <-> -. z e. y))
16	13, 15	imbi12d 626	. . . . . . . 8 |- (w = z -> ((w e. x -> -. w e. y) <-> (z e. x -> -. z e. y)))
17	16	a1i 8	. . . . . . 7 |- ((-. A.z z = x /\ -. A.z z = y) -> (w = z -> ((w e. x -> -. w e. y) <-> (z e. x -> -. z e. y))))
18	6, 12, 17	cbvald 1320	. . . . . 6 |- ((-. A.z z = x /\ -. A.z z = y) -> (A.w(w e. x -> -. w e. y) <-> A.z(z e. x -> -. z e. y)))
19	18	anbi2d 616	. . . . 5 |- ((-. A.z z = x /\ -. A.z z = y) -> ((x e. y /\ A.w(w e. x -> -. w e. y)) <-> (x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y))))
20	3, 19	exbid 1105	. . . 4 |- ((-. A.z z = x /\ -. A.z z = y) -> (E.x(x e. y /\ A.w(w e. x -> -. w e. y)) <-> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y))))
21		axregndlem2 4955	. . . 4 |- (x e. y -> E.x(x e. y /\ A.w(w e. x -> -. w e. y)))
22	20, 21	syl5bi 208	. . 3 |- ((-. A.z z = x /\ -. A.z z = y) -> (x e. y -> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y))))
23	22	ex 373	. 2 |- (-. A.z z = x -> (-. A.z z = y -> (x e. y -> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y)))))
24		axregndlem1 4954	. . 3 |- (A.x x = z -> (x e. y -> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y))))
25	24	alequcoms 1143	. 2 |- (A.z z = x -> (x e. y -> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y))))
26		hbae 1145	. . . 4 |- (A.z z = y -> A.xA.z z = y)
27		elirrv 4598	. . . . . . . . . 10 |- -. z e. z
28		elequ2 1137	. . . . . . . . . 10 |- (z = y -> (z e. z <-> z e. y))
29	27, 28	mtbii 716	. . . . . . . . 9 |- (z = y -> -. z e. y)
30	29	a4s 984	. . . . . . . 8 |- (A.z z = y -> -. z e. y)
31	30	a1d 12	. . . . . . 7 |- (A.z z = y -> (z e. x -> -. z e. y))
32	31	a5i 989	. . . . . 6 |- (A.z z = y -> A.z(z e. x -> -. z e. y))
33	32	anim2i 335	. . . . 5 |- ((x e. y /\ A.z z = y) -> (x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y)))
34	33	expcom 374	. . . 4 |- (A.z z = y -> (x e. y -> (x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y))))
35	26, 34	19.22d 1062	. . 3 |- (A.z z = y -> (E.x x e. y -> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y))))
36		19.8a 1029	. . 3 |- (x e. y -> E.x x e. y)
37	35, 36	syl5 21	. 2 |- (A.z z = y -> (x e. y -> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y))))
38	23, 25, 37	pm2.61ii 130	1 |- (x e. y -> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980

This theorem is referenced by:  zfcndreg 4969

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-15 1360  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-reg 4593

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413

Copyright terms: Public domain