Theorem axpownd 4925

Description: A version of the Axiom of Power Sets with no distinct variable conditions.

Assertion

Ref	Expression
axpownd	|- (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x))

Proof of Theorem axpownd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axpowndlem4 4924	. 2 |- (-. A.y y = x -> (-. A.y y = z -> (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x))))
2		axpowndlem1 4921	. . 3 |- (A.x x = y -> (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x)))
3	2	alequcoms 1139	. 2 |- (A.y y = x -> (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x)))
4	2	a1d 12	. . 3 |- (A.x x = y -> (A.y y = z -> (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x))))
5		hbnae 1143	. . . . . . . 8 |- (-. A.x x = y -> A.y -. A.x x = y)
6		hbae 1141	. . . . . . . 8 |- (A.y y = z -> A.yA.y y = z)
7	5, 6	hban 1006	. . . . . . 7 |- ((-. A.x x = y /\ A.y y = z) -> A.y(-. A.x x = y /\ A.y y = z))
8		el 2741	. . . . . . . . . . . . 13 |- E.w x e. w
9		dveel1 1349	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (-. A.y y = x -> (x e. w -> A.y x e. w))
10	9	nalequcoms 1140	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (-. A.x x = y -> (x e. w -> A.y x e. w))
11		elequ2 1133	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (w = y -> (x e. w <-> x e. y))
12	11	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (-. A.x x = y -> (w = y -> (x e. w <-> x e. y)))
13	5, 10, 12	cbvexd 1316	. . . . . . . . . . . . 13 |- (-. A.x x = y -> (E.w x e. w <-> E.y x e. y))
14	8, 13	mpbii 193	. . . . . . . . . . . 12 |- (-. A.x x = y -> E.y x e. y)
15		19.8a 1025	. . . . . . . . . . . 12 |- (E.y x e. y -> E.xE.y x e. y)
16	14, 15	syl 10	. . . . . . . . . . 11 |- (-. A.x x = y -> E.xE.y x e. y)
17		df-ex 978	. . . . . . . . . . 11 |- (E.xE.y x e. y <-> -. A.x -. E.y x e. y)
18	16, 17	sylib 198	. . . . . . . . . 10 |- (-. A.x x = y -> -. A.x -. E.y x e. y)
19	18	adantr 389	. . . . . . . . 9 |- ((-. A.x x = y /\ A.y y = z) -> -. A.x -. E.y x e. y)
20		pm4.2i 171	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A.y y = z -> (-. x e. y <-> -. x e. y))
21	20	dral1 1150	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.y y = z -> (A.y -. x e. y <-> A.z -. x e. y))
22		alnex 1029	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.y -. x e. y <-> -. E.y x e. y)
23		alnex 1029	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.z -. x e. y <-> -. E.z x e. y)
24	21, 22, 23	3bitr3g 552	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.y y = z -> (-. E.y x e. y <-> -. E.z x e. y))
25		nd2 4911	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.y y = z -> -. A.y x e. z)
26		mtt 710	. . . . . . . . . . . . 13 |- (-. A.y x e. z -> (-. E.z x e. y <-> (E.z x e. y -> A.y x e. z)))
27	25, 26	syl 10	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.y y = z -> (-. E.z x e. y <-> (E.z x e. y -> A.y x e. z)))
28	24, 27	bitrd 526	. . . . . . . . . . 11 |- (A.y y = z -> (-. E.y x e. y <-> (E.z x e. y -> A.y x e. z)))
29	28	dral2 1151	. . . . . . . . . 10 |- (A.y y = z -> (A.x -. E.y x e. y <-> A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z)))
30	29	adantl 388	. . . . . . . . 9 |- ((-. A.x x = y /\ A.y y = z) -> (A.x -. E.y x e. y <-> A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z)))
31	19, 30	mtbid 712	. . . . . . . 8 |- ((-. A.x x = y /\ A.y y = z) -> -. A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z))
32	31	pm2.21d 78	. . . . . . 7 |- ((-. A.x x = y /\ A.y y = z) -> (A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x))
33	7, 32	19.21ai 995	. . . . . 6 |- ((-. A.x x = y /\ A.y y = z) -> A.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x))
34		19.8a 1025	. . . . . 6 |- (A.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x) -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x))
35	33, 34	syl 10	. . . . 5 |- ((-. A.x x = y /\ A.y y = z) -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x))
36	35	a1d 12	. . . 4 |- ((-. A.x x = y /\ A.y y = z) -> (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x)))
37	36	ex 373	. . 3 |- (-. A.x x = y -> (A.y y = z -> (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x))))
38	4, 37	pm2.61i 126	. 2 |- (A.y y = z -> (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x)))
39	1, 3, 38	pm2.61ii 130	1 |- (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 951   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977

This theorem is referenced by:  zfcndpow 4940

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-15 1353  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-reg 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403

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