Theorem axmulrcl 6223

Description: Closure law for multiplication in the real subfield of complex numbers. Axiom 8 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axmulrcl	|- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A x. B) e. RR)

Proof of Theorem axmulrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 6198	. 2 |- (A e. RR <-> E.x(x e. R. /\ <.x, 0R>. = A))
2		elreal 6198	. 2 |- (B e. RR <-> E.y(y e. R. /\ <.y, 0R>. = B))
3		opreq1 4700	. . 3 |- (<.x, 0R>. = A -> (<.x, 0R>. x. <.y, 0R>.) = (A x. <.y, 0R>.))
4	3	eleq1d 1800	. 2 |- (<.x, 0R>. = A -> ((<.x, 0R>. x. <.y, 0R>.) e. RR <-> (A x. <.y, 0R>.) e. RR))
5		opreq2 4701	. . 3 |- (<.y, 0R>. = B -> (A x. <.y, 0R>.) = (A x. B))
6	5	eleq1d 1800	. 2 |- (<.y, 0R>. = B -> ((A x. <.y, 0R>.) e. RR <-> (A x. B) e. RR))
7		visset 2128	. . . 4 |- y e. _V
8	7	mulresr 6205	. . 3 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (<.x, 0R>. x. <.y, 0R>.) = <.(x .R y), 0R>.)
9		mulclsr 6141	. . . 4 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (x .R y) e. R.)
10		opelreal 6197	. . . 4 |- (<.(x .R y), 0R>. e. RR <-> (x .R y) e. R.)
11	9, 10	sylibr 216	. . 3 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> <.(x .R y), 0R>. e. RR)
12	8, 11	eqeltrd 1808	. 2 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (<.x, 0R>. x. <.y, 0R>.) e. RR)
13	1, 2, 4, 6, 12	2gencl 2152	1 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A x. B) e. RR)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 239   = wceq 1136   e. wcel 1138  <.cop 2870  (class class class)co 4695  R.cnr 5941  0Rc0r 5942   .R cmr 5946  RRcr 6181   x. cmul 6187

This theorem is referenced by:  remulcl 6253  lemul1 6806  lt2mul2div 6849  ltdiv23 6870  lediv23 6871  addltmul 7024  bernneq 7693  addltmulALT 11810  geomcau 15531  iccdil 15543  iimulcl 15556

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1142  ax-gen 1143  ax-8 1144  ax-9 1145  ax-10 1146  ax-11 1147  ax-12 1148  ax-13 1149  ax-14 1150  ax-17 1155  ax-4 1157  ax-5o 1159  ax-6o 1162  ax-9o 1319  ax-10o 1338  ax-16 1418  ax-11o 1426  ax-ext 1702  ax-rep 3243  ax-sep 3253  ax-nul 3260  ax-pow 3296  ax-pr 3339  ax-un 3601  ax-inf2 5540

This theorem depends on definitions:  df-bi 163  df-or 240  df-an 241  df-3or 856  df-3an 857  df-ex 1165  df-sb 1374  df-eu 1613  df-mo 1614  df-clab 1709  df-cleq 1714  df-clel 1717  df-ne 1856  df-ral 1943  df-rex 1944  df-reu 1945  df-rab 1946  df-v 2127  df-sbc 2287  df-csb 2374  df-dif 2430  df-un 2433  df-in 2436  df-ss 2438  df-pss 2440  df-nul 2702  df-if 2807  df-pw 2859  df-sn 2873  df-pr 2874  df-tp 2876  df-op 2877  df-uni 3000  df-int 3037  df-iun 3079  df-br 3159  df-opab 3214  df-tr 3230  df-eprel 3398  df-id 3401  df-po 3406  df-so 3419  df-fr 3440  df-we 3459  df-ord 3475  df-on 3476  df-lim 3477  df-suc 3478  df-om 3761  df-xp 3811  df-rel 3812  df-cnv 3813  df-co 3814  df-dm 3815  df-rn 3816  df-res 3817  df-ima 3818  df-fun 3819  df-fn 3820  df-f 3821  df-fv 3825  df-opr 4697  df-oprab 4698  df-1st 4831  df-2nd 4832  df-rdg 4951  df-1o 4988  df-oadd 4990  df-omul 4991  df-er 5129  df-ec 5131  df-qs 5134  df-ni 5948  df-pli 5949  df-mi 5950  df-lti 5951  df-plpq 5983  df-mpq 5984  df-enq 5985  df-nq 5986  df-plq 5987  df-mq 5988  df-rq 5989  df-ltq 5990  df-1q 5991  df-np 6034  df-1p 6035  df-plp 6036  df-mp 6037  df-ltp 6038  df-plpr 6112  df-mpr 6113  df-enr 6114  df-nr 6115  df-plr 6116  df-mr 6117  df-0r 6119  df-m1r 6121  df-c 6188  df-r 6192  df-mul 6194

Copyright terms: Public domain