Theorem axmulgt0 6471

Description: The product of two positive reals is positive. Axiom 25 of 27 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. (This restates pre-axmulgt0 6239 with ordering on the extended reals.)

Assertion

Ref	Expression
axmulgt0	|- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((0 < A /\ 0 < B) -> 0 < (A x. B)))

Proof of Theorem axmulgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pre-axmulgt0 6239	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((0 <R A /\ 0 <R B) -> 0 <R (A x. B)))
2		0re 6399	. . . 4 |- 0 e. RR
3		ltxrlt 6465	. . . 4 |- ((0 e. RR /\ A e. RR) -> (0 < A <-> 0 <R A))
4	2, 3	mpan 756	. . 3 |- (A e. RR -> (0 < A <-> 0 <R A))
5		ltxrlt 6465	. . . 4 |- ((0 e. RR /\ B e. RR) -> (0 < B <-> 0 <R B))
6	2, 5	mpan 756	. . 3 |- (B e. RR -> (0 < B <-> 0 <R B))
7	4, 6	bi2anan9 691	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((0 < A /\ 0 < B) <-> (0 <R A /\ 0 <R B)))
8		ltxrlt 6465	. . 3 |- ((0 e. RR /\ (A x. B) e. RR) -> (0 < (A x. B) <-> 0 <R (A x. B)))
9		remulcl 6253	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A x. B) e. RR)
10	8, 2, 9	sylancr 523	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (0 < (A x. B) <-> 0 <R (A x. B)))
11	1, 7, 10	3imtr4d 599	1 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((0 < A /\ 0 < B) -> 0 < (A x. B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 162   /\ wa 239   e. wcel 1138   class class class wbr 3158  (class class class)co 4695  RRcr 6181  0cc0 6182   <R cltrr 6186   x. cmul 6187   < clt 6449

This theorem is referenced by:  mulgt0 6474  mulgt0i 6582  rpmulcl 7043  expgt0 7626  sin02gt0 8539  znnen 8566  sinq12gt0t 9852

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1142  ax-gen 1143  ax-8 1144  ax-9 1145  ax-10 1146  ax-11 1147  ax-12 1148  ax-13 1149  ax-14 1150  ax-17 1155  ax-4 1157  ax-5o 1159  ax-6o 1162  ax-9o 1319  ax-10o 1338  ax-16 1418  ax-11o 1426  ax-ext 1702  ax-rep 3243  ax-sep 3253  ax-nul 3260  ax-pow 3296  ax-pr 3339  ax-un 3601  ax-inf2 5540

This theorem depends on definitions:  df-bi 163  df-or 240  df-an 241  df-3or 856  df-3an 857  df-ex 1165  df-sb 1374  df-eu 1613  df-mo 1614  df-clab 1709  df-cleq 1714  df-clel 1717  df-ne 1856  df-nel 1857  df-ral 1943  df-rex 1944  df-reu 1945  df-rab 1946  df-v 2127  df-sbc 2287  df-csb 2374  df-dif 2430  df-un 2433  df-in 2436  df-ss 2438  df-pss 2440  df-nul 2702  df-if 2807  df-pw 2859  df-sn 2873  df-pr 2874  df-tp 2876  df-op 2877  df-uni 3000  df-int 3037  df-iun 3079  df-br 3159  df-opab 3214  df-tr 3230  df-eprel 3398  df-id 3401  df-po 3406  df-so 3419  df-fr 3440  df-we 3459  df-ord 3475  df-on 3476  df-lim 3477  df-suc 3478  df-om 3761  df-xp 3811  df-rel 3812  df-cnv 3813  df-co 3814  df-dm 3815  df-rn 3816  df-res 3817  df-ima 3818  df-fun 3819  df-fn 3820  df-f 3821  df-f1 3822  df-fo 3823  df-f1o 3824  df-fv 3825  df-opr 4697  df-oprab 4698  df-1st 4831  df-2nd 4832  df-rdg 4951  df-1o 4988  df-oadd 4990  df-omul 4991  df-er 5129  df-ec 5131  df-qs 5134  df-en 5238  df-dom 5239  df-sdom 5240  df-ni 5948  df-pli 5949  df-mi 5950  df-lti 5951  df-plpq 5983  df-mpq 5984  df-enq 5985  df-nq 5986  df-plq 5987  df-mq 5988  df-rq 5989  df-ltq 5990  df-1q 5991  df-np 6034  df-1p 6035  df-plp 6036  df-mp 6037  df-ltp 6038  df-plpr 6112  df-mpr 6113  df-enr 6114  df-nr 6115  df-plr 6116  df-mr 6117  df-ltr 6118  df-0r 6119  df-1r 6120  df-m1r 6121  df-c 6188  df-0 6189  df-1 6190  df-i 6191  df-r 6192  df-plus 6193  df-mul 6194  df-lt 6195  df-pnf 6450  df-mnf 6451  df-xr 6452  df-ltxr 6453

Copyright terms: Public domain