Theorem axmulcl 5196

Description: Closure law for multiplication of complex numbers. Axiom 7 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axmulcl	|- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A x. B) e. CC)

Proof of Theorem axmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axmulopr 5189	. 2 |- x. :(CC X. CC)-->CC
2	1	foprcl 3954	1 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A x. B) e. CC)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 1105  (class class class)co 3902  CCcc 5155   x. cmul 5162

This theorem is referenced by:  mulclt 5226  mulcl 5244  cnegextlem2 5269  cnegext 5271  mul4t 5343  muladdt 5344  subdit 5350  submul2t 5383  mulsubt 5400  recextlem1 5606  recext 5608  muleqaddt 5620  receu 5621  mulnzcnopr 5622  divasst 5655  divmuldivt 5687  divadddivt 5691  divdivdivt 5692  conjmult 5704  zneo 6098  zneoOLD 6099  qbtwnre 6167  expclt 6464  mulexpt 6476  sqclt 6493  subsqt 6524  subsq2t 6525  bernneq 6534  bernneq2 6535  cjclt 6647  crret 6653  crretOLD 6654  crimt 6655  crimtOLD 6656  imret 6661  reim0t 6662  recjt 6704  imcjt 6705  cjreimt 6714  cjreim2t 6715  cj11t 6716  sqabsaddt 6734  sqabssubt 6735  absreimsqt 6742  absreimt 6743  fsummulc1 6922  binomlem1 6955  binomlem2 6956  binomlem4 6958  binomlem5 6959  climmullem4 7010  climmullem5 7011  climmullem8 7014  climsub 7017  caucvg3a 7051  caucvg3lem 7053  fnsmnt 7112  geoser 7120  geolimilem 7121  fsum0diaglem2 7143  fsum0diag2 7145  mulc1cncf 7165  efaddlem3 7233  efaddlem5 7235  efaddlem6 7236  efaddlem13 7243  efaddlem17 7247  efaddlem19 7249  efaddlem27 7257  efexpt 7265  abspef01tlub 7287  sinclt 7324  cosclt 7325  resinvalt 7326  recosvalt 7327  efi4pt 7328  resin4pt 7329  recos4pt 7330  resinclt 7331  recosclt 7332  sinnegt 7335  cosnegt 7336  efivalt 7340  efmivalt 7341  efeult 7342  sinsubt 7348  cossubt 7349  addsint 7350  subsint 7351  addcost 7352  subcost 7353  sincossqt 7354  sin2tt 7355  sin01bndlem2 7361  sin01bndlem3 7362  cos01bndlem2 7363  cos01bndlem3 7364  abseft 7376  demoivre 7377  demoivreALT 7378  znnen 7396  mulcn 7870  ablmul 8016  ipval2 8226  4ipval2 8227  4ipval3 8231  ipid 8232  ipcl 8234  ipcj 8236  ip1cnilem4 8245  ip1cnilem6 8247  cnph 8344  ipasslem2 8357  ipasslem4 8359  ipasslem8 8363  ipasslem9 8364  ipasslem11 8366  ubthlem7 8401  ubthlem8 8402  ubthlem9 8403  ubthlem10 8404  minveclem18 8428  sincolem 8497  sinperlem2 8519  sinper 8522  cosper 8523  efimpi 8528  sincosq1eq 8539  efgh 8546  efghgrpilem 8547  efif 8549  efif1lem4 8561  efielcircOLD 8568  circcltOLD 8569  efielcirc 8572  shftefif1olem 8574  shftefif1olemOLD 8575  eff1lem 8577  eff1i 8578  effoi 8579  effoiOLD 8580  efper 8582  mslb1 8823  2wsms 8824  pjthlem4 9351  pjthlem7 9354  spansncol 9621  homulasst 9859  lnfnmul 10102  riesz3 10124

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-rep 2661  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747  ax-un 2830  ax-inf2 4549

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 773  df-3an 774  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-ral 1625  df-rex 1626  df-reu 1627  df-rab 1628  df-v 1787  df-sbc 1913  df-csb 1973  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-pss 2026  df-nul 2252  df-if 2333  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-tp 2386  df-op 2387  df-uni 2472  df-int 2502  df-iun 2536  df-br 2588  df-opab 2635  df-tr 2649  df-eprel 2794  df-id 2797  df-po 2804  df-so 2814  df-fr 2880  df-we 2897  df-ord 2914  df-on 2915  df-lim 2916  df-suc 2917  df-om 3095  df-xp 3147  df-rel 3148  df-cnv 3149  df-co 3150  df-dm 3151  df-rn 3152  df-res 3153  df-ima 3154  df-fun 3155  df-fn 3156  df-f 3157  df-fv 3161  df-rdg 3871  df-opr 3904  df-oprab 3905  df-1st 4017  df-2nd 4018  df-1o 4071  df-oadd 4073  df-omul 4074  df-er 4199  df-ec 4201  df-qs 4204  df-ni 4923  df-pli 4924  df-mi 4925  df-lti 4926  df-plpq 4958  df-mpq 4959  df-enq 4960  df-nq 4961  df-plq 4962  df-mq 4963  df-rq 4964  df-ltq 4965  df-1q 4966  df-np 5009  df-1p 5010  df-plp 5011  df-mp 5012  df-ltp 5013  df-plpr 5087  df-mpr 5088  df-enr 5089  df-nr 5090  df-plr 5091  df-mr 5092  df-m1r 5096  df-c 5163  df-mul 5169

Copyright terms: Public domain