Theorem axmulass 6227

Description: Multiplication of complex numbers is associative. Axiom 12 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axmulass	|- ((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) -> ((A x. B) x. C) = (A x. (B x. C)))

Proof of Theorem axmulass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcnqs 6210	. 2 |- CC = ((R. X. R.)/.`'_E)
2		mulcnsrec 6212	. 2 |- (((x e. R. /\ y e. R.) /\ (z e. R. /\ w e. R.)) -> ([<.x, y>.]`'_E x. [<.z, w>.]`'_E) = [<.((x .R z) +R (-1R .R (y .R w))), ((y .R z) +R (x .R w))>.]`'_E)
3		mulcnsrec 6212	. 2 |- (((z e. R. /\ w e. R.) /\ (v e. R. /\ u e. R.)) -> ([<.z, w>.]`'_E x. [<.v, u>.]`'_E) = [<.((z .R v) +R (-1R .R (w .R u))), ((w .R v) +R (z .R u))>.]`'_E)
4		mulcnsrec 6212	. 2 |- (((((x .R z) +R (-1R .R (y .R w))) e. R. /\ ((y .R z) +R (x .R w)) e. R.) /\ (v e. R. /\ u e. R.)) -> ([<.((x .R z) +R (-1R .R (y .R w))), ((y .R z) +R (x .R w))>.]`'_E x. [<.v, u>.]`'_E) = [<.((((x .R z) +R (-1R .R (y .R w))) .R v) +R (-1R .R (((y .R z) +R (x .R w)) .R u))), ((((y .R z) +R (x .R w)) .R v) +R (((x .R z) +R (-1R .R (y .R w))) .R u))>.]`'_E)
5		mulcnsrec 6212	. 2 |- (((x e. R. /\ y e. R.) /\ (((z .R v) +R (-1R .R (w .R u))) e. R. /\ ((w .R v) +R (z .R u)) e. R.)) -> ([<.x, y>.]`'_E x. [<.((z .R v) +R (-1R .R (w .R u))), ((w .R v) +R (z .R u))>.]`'_E) = [<.((x .R ((z .R v) +R (-1R .R (w .R u)))) +R (-1R .R (y .R ((w .R v) +R (z .R u))))), ((y .R ((z .R v) +R (-1R .R (w .R u)))) +R (x .R ((w .R v) +R (z .R u))))>.]`'_E)
6		addclsr 6140	. . . . 5 |- (((x .R z) e. R. /\ (-1R .R (y .R w)) e. R.) -> ((x .R z) +R (-1R .R (y .R w))) e. R.)
7		mulclsr 6141	. . . . 5 |- ((x e. R. /\ z e. R.) -> (x .R z) e. R.)
8		mulclsr 6141	. . . . . 6 |- ((-1R e. R. /\ (y .R w) e. R.) -> (-1R .R (y .R w)) e. R.)
9		m1r 6139	. . . . . 6 |- -1R e. R.
10		mulclsr 6141	. . . . . 6 |- ((y e. R. /\ w e. R.) -> (y .R w) e. R.)
11	8, 9, 10	sylancr 523	. . . . 5 |- ((y e. R. /\ w e. R.) -> (-1R .R (y .R w)) e. R.)
12	6, 7, 11	syl2an 501	. . . 4 |- (((x e. R. /\ z e. R.) /\ (y e. R. /\ w e. R.)) -> ((x .R z) +R (-1R .R (y .R w))) e. R.)
13	12	an4s 563	. . 3 |- (((x e. R. /\ y e. R.) /\ (z e. R. /\ w e. R.)) -> ((x .R z) +R (-1R .R (y .R w))) e. R.)
14		addclsr 6140	. . . . . 6 |- (((y .R z) e. R. /\ (x .R w) e. R.) -> ((y .R z) +R (x .R w)) e. R.)
15		mulclsr 6141	. . . . . 6 |- ((y e. R. /\ z e. R.) -> (y .R z) e. R.)
16		mulclsr 6141	. . . . . 6 |- ((x e. R. /\ w e. R.) -> (x .R w) e. R.)
17	14, 15, 16	syl2an 501	. . . . 5 |- (((y e. R. /\ z e. R.) /\ (x e. R. /\ w e. R.)) -> ((y .R z) +R (x .R w)) e. R.)
18	17	ancoms 482	. . . 4 |- (((x e. R. /\ w e. R.) /\ (y e. R. /\ z e. R.)) -> ((y .R z) +R (x .R w)) e. R.)
19	18	an42s 564	. . 3 |- (((x e. R. /\ y e. R.) /\ (z e. R. /\ w e. R.)) -> ((y .R z) +R (x .R w)) e. R.)
20	13, 19	jca 308	. 2 |- (((x e. R. /\ y e. R.) /\ (z e. R. /\ w e. R.)) -> (((x .R z) +R (-1R .R (y .R w))) e. R. /\ ((y .R z) +R (x .R w)) e. R.))
21		addclsr 6140	. . . . 5 |- (((z .R v) e. R. /\ (-1R .R (w .R u)) e. R.) -> ((z .R v) +R (-1R .R (w .R u))) e. R.)
22		mulclsr 6141	. . . . 5 |- ((z e. R. /\ v e. R.) -> (z .R v) e. R.)
23		mulclsr 6141	. . . . . 6 |- ((-1R e. R. /\ (w .R u) e. R.) -> (-1R .R (w .R u)) e. R.)
24		mulclsr 6141	. . . . . 6 |- ((w e. R. /\ u e. R.) -> (w .R u) e. R.)
25	23, 9, 24	sylancr 523	. . . . 5 |- ((w e. R. /\ u e. R.) -> (-1R .R (w .R u)) e. R.)
26	21, 22, 25	syl2an 501	. . . 4 |- (((z e. R. /\ v e. R.) /\ (w e. R. /\ u e. R.)) -> ((z .R v) +R (-1R .R (w .R u))) e. R.)
27	26	an4s 563	. . 3 |- (((z e. R. /\ w e. R.) /\ (v e. R. /\ u e. R.)) -> ((z .R v) +R (-1R .R (w .R u))) e. R.)
28		addclsr 6140	. . . . . 6 |- (((w .R v) e. R. /\ (z .R u) e. R.) -> ((w .R v) +R (z .R u)) e. R.)
29		mulclsr 6141	. . . . . 6 |- ((w e. R. /\ v e. R.) -> (w .R v) e. R.)
30		mulclsr 6141	. . . . . 6 |- ((z e. R. /\ u e. R.) -> (z .R u) e. R.)
31	28, 29, 30	syl2an 501	. . . . 5 |- (((w e. R. /\ v e. R.) /\ (z e. R. /\ u e. R.)) -> ((w .R v) +R (z .R u)) e. R.)
32	31	ancoms 482	. . . 4 |- (((z e. R. /\ u e. R.) /\ (w e. R. /\ v e. R.)) -> ((w .R v) +R (z .R u)) e. R.)
33	32	an42s 564	. . 3 |- (((z e. R. /\ w e. R.) /\ (v e. R. /\ u e. R.)) -> ((w .R v) +R (z .R u)) e. R.)
34	27, 33	jca 308	. 2 |- (((z e. R. /\ w e. R.) /\ (v e. R. /\ u e. R.)) -> (((z .R v) +R (-1R .R (w .R u))) e. R. /\ ((w .R v) +R (z .R u)) e. R.))
35		oprex 4718	. . . 4 |- (x .R (z .R v)) e. _V
36		oprex 4718	. . . 4 |- (x .R (-1R .R (w .R u))) e. _V
37		oprex 4718	. . . 4 |- (-1R .R (y .R (w .R v))) e. _V
38		visset 2128	. . . . 5 |- f e. _V
39		visset 2128	. . . . 5 |- g e. _V
40	38, 39	addcomsr 6144	. . . 4 |- (f +R g) = (g +R f)
41		visset 2128	. . . . 5 |- h e. _V
42	39, 41	addasssr 6145	. . . 4 |- ((f +R g) +R h) = (f +R (g +R h))
43		oprex 4718	. . . 4 |- (-1R .R (y .R (z .R u))) e. _V
44	35, 36, 37, 40, 42, 43	caopr42 4810	. . 3 |- (((x .R (z .R v)) +R (x .R (-1R .R (w .R u)))) +R ((-1R .R (y .R (w .R v))) +R (-1R .R (y .R (z .R u))))) = (((x .R (z .R v)) +R (-1R .R (y .R (w .R v)))) +R ((-1R .R (y .R (z .R u))) +R (x .R (-1R .R (w .R u)))))
45		oprex 4718	. . . . 5 |- (z .R v) e. _V
46		oprex 4718	. . . . 5 |- (-1R .R (w .R u)) e. _V
47	45, 46	distrsr 6148	. . . 4 |- (x .R ((z .R v) +R (-1R .R (w .R u)))) = ((x .R (z .R v)) +R (x .R (-1R .R (w .R u))))
48		oprex 4718	. . . . . . 7 |- (w .R v) e. _V
49		oprex 4718	. . . . . . 7 |- (z .R u) e. _V
50	48, 49	distrsr 6148	. . . . . 6 |- (y .R ((w .R v) +R (z .R u))) = ((y .R (w .R v)) +R (y .R (z .R u)))
51	50	opreq2i 4704	. . . . 5 |- (-1R .R (y .R ((w .R v) +R (z .R u)))) = (-1R .R ((y .R (w .R v)) +R (y .R (z .R u))))
52		oprex 4718	. . . . . 6 |- (y .R (w .R v)) e. _V
53		oprex 4718	. . . . . 6 |- (y .R (z .R u)) e. _V
54	52, 53	distrsr 6148	. . . . 5 |- (-1R .R ((y .R (w .R v)) +R (y .R (z .R u)))) = ((-1R .R (y .R (w .R v))) +R (-1R .R (y .R (z .R u))))
55	51, 54	eqtri 1745	. . . 4 |- (-1R .R (y .R ((w .R v) +R (z .R u)))) = ((-1R .R (y .R (w .R v))) +R (-1R .R (y .R (z .R u))))
56	47, 55	opreq12i 4705	. . 3 |- ((x .R ((z .R v) +R (-1R .R (w .R u)))) +R (-1R .R (y .R ((w .R v) +R (z .R u))))) = (((x .R (z .R v)) +R (x .R (-1R .R (w .R u)))) +R ((-1R .R (y .R (w .R v))) +R (-1R .R (y .R (z .R u)))))
57		visset 2128	. . . . . 6 |- x e. _V
58	9	elisseti 2134	. . . . . 6 |- -1R e. _V
59		visset 2128	. . . . . 6 |- z e. _V
60	38, 39	mulcomsr 6146	. . . . . 6 |- (f .R g) = (g .R f)
61	39, 41	distrsr 6148	. . . . . 6 |- (f .R (g +R h)) = ((f .R g) +R (f .R h))
62		oprex 4718	. . . . . 6 |- (y .R w) e. _V
63		visset 2128	. . . . . 6 |- v e. _V
64	39, 41	mulasssr 6147	. . . . . 6 |- ((f .R g) .R h) = (f .R (g .R h))
65	57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64	caoprdilem 4812	. . . . 5 |- (((x .R z) +R (-1R .R (y .R w))) .R v) = ((x .R (z .R v)) +R (-1R .R ((y .R w) .R v)))
66		visset 2128	. . . . . . . 8 |- w e. _V
67	66, 63	mulasssr 6147	. . . . . . 7 |- ((y .R w) .R v) = (y .R (w .R v))
68	67	opreq2i 4704	. . . . . 6 |- (-1R .R ((y .R w) .R v)) = (-1R .R (y .R (w .R v)))
69	68	opreq2i 4704	. . . . 5 |- ((x .R (z .R v)) +R (-1R .R ((y .R w) .R v))) = ((x .R (z .R v)) +R (-1R .R (y .R (w .R v))))
70	65, 69	eqtri 1745	. . . 4 |- (((x .R z) +R (-1R .R (y .R w))) .R v) = ((x .R (z .R v)) +R (-1R .R (y .R (w .R v))))
71		visset 2128	. . . . . . 7 |- y e. _V
72		visset 2128	. . . . . . 7 |- u e. _V
73	71, 57, 59, 60, 61, 66, 72, 64	caoprdilem 4812	. . . . . 6 |- (((y .R z) +R (x .R w)) .R u) = ((y .R (z .R u)) +R (x .R (w .R u)))
74	73	opreq2i 4704	. . . . 5 |- (-1R .R (((y .R z) +R (x .R w)) .R u)) = (-1R .R ((y .R (z .R u)) +R (x .R (w .R u))))
75		oprex 4718	. . . . . 6 |- (x .R (w .R u)) e. _V
76	53, 75	distrsr 6148	. . . . 5 |- (-1R .R ((y .R (z .R u)) +R (x .R (w .R u)))) = ((-1R .R (y .R (z .R u))) +R (-1R .R (x .R (w .R u))))
77		oprex 4718	. . . . . . 7 |- (w .R u) e. _V
78	58, 57, 77, 60, 64	caopr12 4805	. . . . . 6 |- (-1R .R (x .R (w .R u))) = (x .R (-1R .R (w .R u)))
79	78	opreq2i 4704	. . . . 5 |- ((-1R .R (y .R (z .R u))) +R (-1R .R (x .R (w .R u)))) = ((-1R .R (y .R (z .R u))) +R (x .R (-1R .R (w .R u))))
80	74, 76, 79	3eqtri 1749	. . . 4 |- (-1R .R (((y .R z) +R (x .R w)) .R u)) = ((-1R .R (y .R (z .R u))) +R (x .R (-1R .R (w .R u))))
81	70, 80	opreq12i 4705	. . 3 |- ((((x .R z) +R (-1R .R (y .R w))) .R v) +R (-1R .R (((y .R z) +R (x .R w)) .R u))) = (((x .R (z .R v)) +R (-1R .R (y .R (w .R v)))) +R ((-1R .R (y .R (z .R u))) +R (x .R (-1R .R (w .R u)))))
82	44, 56, 81	3eqtr4ri 1760	. 2 |- ((((x .R z) +R (-1R .R (y .R w))) .R v) +R (-1R .R (((y .R z) +R (x .R w)) .R u))) = ((x .R ((z .R v) +R (-1R .R (w .R u)))) +R (-1R .R (y .R ((w .R v) +R (z .R u)))))
83		oprex 4718	. . . 4 |- (y .R (z .R v)) e. _V
84		oprex 4718	. . . 4 |- (y .R (-1R .R (w .R u))) e. _V
85		oprex 4718	. . . 4 |- (x .R (w .R v)) e. _V
86		oprex 4718	. . . 4 |- (x .R (z .R u)) e. _V
87	83, 84, 85, 40, 42, 86	caopr42 4810	. . 3 |- (((y .R (z .R v)) +R (y .R (-1R .R (w .R u)))) +R ((x .R (w .R v)) +R (x .R (z .R u)))) = (((y .R (z .R v)) +R (x .R (w .R v))) +R ((x .R (z .R u)) +R (y .R (-1R .R (w .R u)))))
88	45, 46	distrsr 6148	. . . 4 |- (y .R ((z .R v) +R (-1R .R (w .R u)))) = ((y .R (z .R v)) +R (y .R (-1R .R (w .R u))))
89	48, 49	distrsr 6148	. . . 4 |- (x .R ((w .R v) +R (z .R u))) = ((x .R (w .R v)) +R (x .R (z .R u)))
90	88, 89	opreq12i 4705	. . 3 |- ((y .R ((z .R v) +R (-1R .R (w .R u)))) +R (x .R ((w .R v) +R (z .R u)))) = (((y .R (z .R v)) +R (y .R (-1R .R (w .R u)))) +R ((x .R (w .R v)) +R (x .R (z .R u))))
91	71, 57, 59, 60, 61, 66, 63, 64	caoprdilem 4812	. . . 4 |- (((y .R z) +R (x .R w)) .R v) = ((y .R (z .R v)) +R (x .R (w .R v)))
92	57, 58, 59, 60, 61, 62, 72, 64	caoprdilem 4812	. . . . 5 |- (((x .R z) +R (-1R .R (y .R w))) .R u) = ((x .R (z .R u)) +R (-1R .R ((y .R w) .R u)))
93	66, 72	mulasssr 6147	. . . . . . . 8 |- ((y .R w) .R u) = (y .R (w .R u))
94	93	opreq2i 4704	. . . . . . 7 |- (-1R .R ((y .R w) .R u)) = (-1R .R (y .R (w .R u)))
95	58, 71, 77, 60, 64	caopr12 4805	. . . . . . 7 |- (-1R .R (y .R (w .R u))) = (y .R (-1R .R (w .R u)))
96	94, 95	eqtri 1745	. . . . . 6 |- (-1R .R ((y .R w) .R u)) = (y .R (-1R .R (w .R u)))
97	96	opreq2i 4704	. . . . 5 |- ((x .R (z .R u)) +R (-1R .R ((y .R w) .R u))) = ((x .R (z .R u)) +R (y .R (-1R .R (w .R u))))
98	92, 97	eqtri 1745	. . . 4 |- (((x .R z) +R (-1R .R (y .R w))) .R u) = ((x .R (z .R u)) +R (y .R (-1R .R (w .R u))))
99	91, 98	opreq12i 4705	. . 3 |- ((((y .R z) +R (x .R w)) .R v) +R (((x .R z) +R (-1R .R (y .R w))) .R u)) = (((y .R (z .R v)) +R (x .R (w .R v))) +R ((x .R (z .R u)) +R (y .R (-1R .R (w .R u)))))
100	87, 90, 99	3eqtr4ri 1760	. 2 |- ((((y .R z) +R (x .R w)) .R v) +R (((x .R z) +R (-1R .R (y .R w))) .R u)) = ((y .R ((z .R v) +R (-1R .R (w .R u)))) +R (x .R ((w .R v) +R (z .R u))))
101	1, 2, 3, 4, 5, 20, 34, 82, 100	ecoprass 5190	1 |- ((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) -> ((A x. B) x. C) = (A x. (B x. C)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 239   /\ w3a 855   = wceq 1136   e. wcel 1138  _Ecep 3396  `'ccnv 3796  (class class class)co 4695  R.cnr 5941  -1Rcm1r 5944   +R cplr 5945   .R cmr 5946  CCcc 6180   x. cmul 6187

This theorem is referenced by:  mulass 6257

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1142  ax-gen 1143  ax-8 1144  ax-9 1145  ax-10 1146  ax-11 1147  ax-12 1148  ax-13 1149  ax-14 1150  ax-17 1155  ax-4 1157  ax-5o 1159  ax-6o 1162  ax-9o 1319  ax-10o 1338  ax-16 1418  ax-11o 1426  ax-ext 1702  ax-rep 3243  ax-sep 3253  ax-nul 3260  ax-pow 3296  ax-pr 3339  ax-un 3601  ax-inf2 5540

This theorem depends on definitions:  df-bi 163  df-or 240  df-an 241  df-3or 856  df-3an 857  df-ex 1165  df-sb 1374  df-eu 1613  df-mo 1614  df-clab 1709  df-cleq 1714  df-clel 1717  df-ne 1856  df-ral 1943  df-rex 1944  df-reu 1945  df-rab 1946  df-v 2127  df-sbc 2287  df-csb 2374  df-dif 2430  df-un 2433  df-in 2436  df-ss 2438  df-pss 2440  df-nul 2702  df-if 2807  df-pw 2859  df-sn 2873  df-pr 2874  df-tp 2876  df-op 2877  df-uni 3000  df-int 3037  df-iun 3079  df-br 3159  df-opab 3214  df-tr 3230  df-eprel 3398  df-id 3401  df-po 3406  df-so 3419  df-fr 3440  df-we 3459  df-ord 3475  df-on 3476  df-lim 3477  df-suc 3478  df-om 3761  df-xp 3811  df-rel 3812  df-cnv 3813  df-co 3814  df-dm 3815  df-rn 3816  df-res 3817  df-ima 3818  df-fun 3819  df-fn 3820  df-f 3821  df-fv 3825  df-opr 4697  df-oprab 4698  df-1st 4831  df-2nd 4832  df-rdg 4951  df-1o 4988  df-oadd 4990  df-omul 4991  df-er 5129  df-ec 5131  df-qs 5134  df-ni 5948  df-pli 5949  df-mi 5950  df-lti 5951  df-plpq 5983  df-mpq 5984  df-enq 5985  df-nq 5986  df-plq 5987  df-mq 5988  df-rq 5989  df-ltq 5990  df-1q 5991  df-np 6034  df-1p 6035  df-plp 6036  df-mp 6037  df-ltp 6038  df-plpr 6112  df-mpr 6113  df-enr 6114  df-nr 6115  df-plr 6116  df-mr 6117  df-m1r 6121  df-c 6188  df-mul 6194

Copyright terms: Public domain