Theorem axinfnd 4930

Description: A version of the Axiom of Infinity with no distinct variable conditions.

Assertion

Ref	Expression
axinfnd	|- E.x(y e. z -> (y e. x /\ A.y(y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x))))

Proof of Theorem axinfnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axinfndlem1 4929	. . . . . . 7 |- (A.x w e. z -> E.x(w e. x /\ A.w(w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x))))
2	1	ax-gen 960	. . . . . 6 |- A.w(A.x w e. z -> E.x(w e. x /\ A.w(w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x))))
3		hbnae 1143	. . . . . . . 8 |- (-. A.y y = x -> A.y -. A.y y = x)
4		hbnae 1143	. . . . . . . 8 |- (-. A.y y = z -> A.y -. A.y y = z)
5	3, 4	hban 1006	. . . . . . 7 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> A.y(-. A.y y = x /\ -. A.y y = z))
6		hbnae 1143	. . . . . . . . . 10 |- (-. A.y y = z -> A.x -. A.y y = z)
7		dveel2 1350	. . . . . . . . . 10 |- (-. A.y y = z -> (w e. z -> A.y w e. z))
8	6, 7	hbald 1109	. . . . . . . . 9 |- (-. A.y y = z -> (A.x w e. z -> A.yA.x w e. z))
9	8	adantl 388	. . . . . . . 8 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> (A.x w e. z -> A.yA.x w e. z))
10		hbnae 1143	. . . . . . . . . 10 |- (-. A.y y = x -> A.x -. A.y y = x)
11	10, 6	hban 1006	. . . . . . . . 9 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> A.x(-. A.y y = x /\ -. A.y y = z))
12		dveel2 1350	. . . . . . . . . . 11 |- (-. A.y y = x -> (w e. x -> A.y w e. x))
13	12	adantr 389	. . . . . . . . . 10 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> (w e. x -> A.y w e. x))
14		ax-17 968	. . . . . . . . . . 11 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> A.w(-. A.y y = x /\ -. A.y y = z))
15		hbnae 1143	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (-. A.y y = x -> A.z -. A.y y = x)
16		hbnae 1143	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (-. A.y y = z -> A.z -. A.y y = z)
17	15, 16	hban 1006	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> A.z(-. A.y y = x /\ -. A.y y = z))
18	7	adantl 388	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> (w e. z -> A.y w e. z))
19		ax-15 1353	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (-. A.y y = z -> (-. A.y y = x -> (z e. x -> A.y z e. x)))
20	19	impcom 351	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> (z e. x -> A.y z e. x))
21	18, 20	hband 1107	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> ((w e. z /\ z e. x) -> A.y(w e. z /\ z e. x)))
22	17, 21	hbexd 1110	. . . . . . . . . . . 12 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> (E.z(w e. z /\ z e. x) -> A.yE.z(w e. z /\ z e. x)))
23	5, 13, 22	hbimd 1106	. . . . . . . . . . 11 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> ((w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x)) -> A.y(w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x))))
24	14, 23	hbald 1109	. . . . . . . . . 10 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> (A.w(w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x)) -> A.yA.w(w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x))))
25	13, 24	hband 1107	. . . . . . . . 9 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> ((w e. x /\ A.w(w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x))) -> A.y(w e. x /\ A.w(w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x)))))
26	11, 25	hbexd 1110	. . . . . . . 8 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> (E.x(w e. x /\ A.w(w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x))) -> A.yE.x(w e. x /\ A.w(w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x)))))
27	5, 9, 26	hbimd 1106	. . . . . . 7 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> ((A.x w e. z -> E.x(w e. x /\ A.w(w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x)))) -> A.y(A.x w e. z -> E.x(w e. x /\ A.w(w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x))))))
28		nd5 4914	. . . . . . . . . . 11 |- (-. A.y y = x -> (w = y -> A.x w = y))
29	28	adantr 389	. . . . . . . . . 10 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> (w = y -> A.x w = y))
30	29	imdistani 443	. . . . . . . . 9 |- (((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) /\ w = y) -> ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) /\ A.x w = y))
31		hba1 1000	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.x w = y -> A.xA.x w = y)
32		elequ1 1132	. . . . . . . . . . . . 13 |- (w = y -> (w e. z <-> y e. z))
33	32	a4s 981	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.x w = y -> (w e. z <-> y e. z))
34	31, 33	albid 1100	. . . . . . . . . . 11 |- (A.x w = y -> (A.x w e. z <-> A.x y e. z))
35	34	adantl 388	. . . . . . . . . 10 |- (((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) /\ A.x w = y) -> (A.x w e. z <-> A.x y e. z))
36	11, 31	hban 1006	. . . . . . . . . . 11 |- (((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) /\ A.x w = y) -> A.x((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) /\ A.x w = y))
37		elequ1 1132	. . . . . . . . . . . . 13 |- (w = y -> (w e. x <-> y e. x))
38	37	a4s 981	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.x w = y -> (w e. x <-> y e. x))
39	37	adantl 388	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((-. A.y y = z /\ w = y) -> (w e. x <-> y e. x))
40		nd5 4914	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (-. A.y y = z -> (w = y -> A.z w = y))
41	40	imdistani 443	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((-. A.y y = z /\ w = y) -> (-. A.y y = z /\ A.z w = y))
42		hba1 1000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (A.z w = y -> A.zA.z w = y)
43	32	anbi1d 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (w = y -> ((w e. z /\ z e. x) <-> (y e. z /\ z e. x)))
44	43	a4s 981	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (A.z w = y -> ((w e. z /\ z e. x) <-> (y e. z /\ z e. x)))
45	42, 44	exbid 1101	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (A.z w = y -> (E.z(w e. z /\ z e. x) <-> E.z(y e. z /\ z e. x)))
46	45	adantl 388	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((-. A.y y = z /\ A.z w = y) -> (E.z(w e. z /\ z e. x) <-> E.z(y e. z /\ z e. x)))
47	41, 46	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((-. A.y y = z /\ w = y) -> (E.z(w e. z /\ z e. x) <-> E.z(y e. z /\ z e. x)))
48	39, 47	imbi12d 624	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((-. A.y y = z /\ w = y) -> ((w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x)) <-> (y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x))))
49	48	adantll 392	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) /\ w = y) -> ((w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x)) <-> (y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x))))
50	49	ex 373	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> (w = y -> ((w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x)) <-> (y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x)))))
51	5, 23, 50	cbvald 1315	. . . . . . . . . . . 12 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> (A.w(w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x)) <-> A.y(y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x))))
52	38, 51	bi2anan9r 631	. . . . . . . . . . 11 |- (((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) /\ A.x w = y) -> ((w e. x /\ A.w(w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x))) <-> (y e. x /\ A.y(y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x)))))
53	36, 52	exbid 1101	. . . . . . . . . 10 |- (((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) /\ A.x w = y) -> (E.x(w e. x /\ A.w(w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x))) <-> E.x(y e. x /\ A.y(y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x)))))
54	35, 53	imbi12d 624	. . . . . . . . 9 |- (((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z)