Theorem axinf2 4604

Description: A standard version of Axiom of Infinity, expanded to primitives, derived from our version of Infinity ax-inf 4602 and Regularity ax-reg 4573.

This theorem should not be referenced in any proof. Instead, use ax-inf2 4605 below so that the ordinary uses of Regularity can be more easily identified.

Assertion

Ref	Expression
axinf2	|- E.x(E.y(y e. x /\ A.z -. z e. y) /\ A.y(y e. x -> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y)))))

Distinct variable group:   x,y,z,w

Proof of Theorem axinf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 3144	. . 3 |- (/) e. om
2		peano2 3145	. . . 4 |- (y e. om -> suc y e. om)
3	2	ax-gen 961	. . 3 |- A.y(y e. om -> suc y e. om)
4		axinf 4603	. . . . . 6 |- E.x(y e. x /\ A.y(y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x)))
5	4	inf2 4588	. . . . 5 |- E.x(x =/= (/) /\ x (_ U.x)
6	5	inf3 4600	. . . 4 |- om e. V
7		eleq2 1532	. . . . 5 |- (x = om -> ((/) e. x <-> (/) e. om))
8		eleq2 1532	. . . . . . 7 |- (x = om -> (y e. x <-> y e. om))
9		eleq2 1532	. . . . . . 7 |- (x = om -> (suc y e. x <-> suc y e. om))
10	8, 9	imbi12d 625	. . . . . 6 |- (x = om -> ((y e. x -> suc y e. x) <-> (y e. om -> suc y e. om)))
11	10	albidv 1276	. . . . 5 |- (x = om -> (A.y(y e. x -> suc y e. x) <-> A.y(y e. om -> suc y e. om)))
12	7, 11	anbi12d 627	. . . 4 |- (x = om -> (((/) e. x /\ A.y(y e. x -> suc y e. x)) <-> ((/) e. om /\ A.y(y e. om -> suc y e. om))))
13	6, 12	cla4ev 1865	. . 3 |- (((/) e. om /\ A.y(y e. om -> suc y e. om)) -> E.x((/) e. x /\ A.y(y e. x -> suc y e. x)))
14	1, 3, 13	mp2an 696	. 2 |- E.x((/) e. x /\ A.y(y e. x -> suc y e. x))
15		0el 2292	. . . . 5 |- ((/) e. x <-> E.y e. x A.z -. z e. y)
16		df-rex 1647	. . . . 5 |- (E.y e. x A.z -. z e. y <-> E.y(y e. x /\ A.z -. z e. y))
17	15, 16	bitr 173	. . . 4 |- ((/) e. x <-> E.y(y e. x /\ A.z -. z e. y))
18		sucel 3037	. . . . . . 7 |- (suc y e. x <-> E.z e. x A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y)))
19		df-rex 1647	. . . . . . 7 |- (E.z e. x A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y)) <-> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y))))
20	18, 19	bitr 173	. . . . . 6 |- (suc y e. x <-> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y))))
21	20	imbi2i 185	. . . . 5 |- ((y e. x -> suc y e. x) <-> (y e. x -> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y)))))
22	21	albii 997	. . . 4 |- (A.y(y e. x -> suc y e. x) <-> A.y(y e. x -> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y)))))
23	17, 22	anbi12i 482	. . 3 |- (((/) e. x /\ A.y(y e. x -> suc y e. x)) <-> (E.y(y e. x /\ A.z -. z e. y) /\ A.y(y e. x -> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y))))))
24	23	exbii 1049	. 2 |- (E.x((/) e. x /\ A.y(y e. x -> suc y e. x)) <-> E.x(E.y(y e. x /\ A.z -. z e. y) /\ A.y(y e. x -> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y))))))
25	14, 24	mpbi 189	1 |- E.x(E.y(y e. x /\ A.z -. z e. y) /\ A.y(y e. x -> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y)))))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223  A.wal 952   = wceq 954   e. wcel 956  E.wex 978  E.wrex 1643  (/)c0 2276  suc csuc 2945  omcom 3126

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-reg 4573  ax-inf 4602

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fv 3193  df-rdg 3923

Copyright terms: Public domain