Theorem axi2m1 6234

Description: i-squared equals -1 (expressed as i-squared plus 1 is 0). Axiom 19 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axi2m1	|- ((_i x. _i) + 1) = 0

Proof of Theorem axi2m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 6137	. . . . . . 7 |- 0R e. R.
2		1r 6138	. . . . . . 7 |- 1R e. R.
3	1, 2	pm3.2i 305	. . . . . 6 |- (0R e. R. /\ 1R e. R.)
4		mulcnsr 6202	. . . . . 6 |- (((0R e. R. /\ 1R e. R.) /\ (0R e. R. /\ 1R e. R.)) -> (<.0R, 1R>. x. <.0R, 1R>.) = <.((0R .R 0R) +R (-1R .R (1R .R 1R))), ((1R .R 0R) +R (0R .R 1R))>.)
5	3, 3, 4	mp2an 758	. . . . 5 |- (<.0R, 1R>. x. <.0R, 1R>.) = <.((0R .R 0R) +R (-1R .R (1R .R 1R))), ((1R .R 0R) +R (0R .R 1R))>.
6		00sr 6156	. . . . . . . . 9 |- (0R e. R. -> (0R .R 0R) = 0R)
7	1, 6	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (0R .R 0R) = 0R
8		1idsr 6155	. . . . . . . . . . 11 |- (1R e. R. -> (1R .R 1R) = 1R)
9	2, 8	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- (1R .R 1R) = 1R
10	9	opreq2i 4704	. . . . . . . . 9 |- (-1R .R (1R .R 1R)) = (-1R .R 1R)
11		m1r 6139	. . . . . . . . . 10 |- -1R e. R.
12		1idsr 6155	. . . . . . . . . 10 |- (-1R e. R. -> (-1R .R 1R) = -1R)
13	11, 12	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- (-1R .R 1R) = -1R
14	10, 13	eqtri 1745	. . . . . . . 8 |- (-1R .R (1R .R 1R)) = -1R
15	7, 14	opreq12i 4705	. . . . . . 7 |- ((0R .R 0R) +R (-1R .R (1R .R 1R))) = (0R +R -1R)
16	1	elisseti 2134	. . . . . . . 8 |- 0R e. _V
17	11	elisseti 2134	. . . . . . . 8 |- -1R e. _V
18	16, 17	addcomsr 6144	. . . . . . 7 |- (0R +R -1R) = (-1R +R 0R)
19		0idsr 6154	. . . . . . . 8 |- (-1R e. R. -> (-1R +R 0R) = -1R)
20	11, 19	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (-1R +R 0R) = -1R
21	15, 18, 20	3eqtri 1749	. . . . . 6 |- ((0R .R 0R) +R (-1R .R (1R .R 1R))) = -1R
22		00sr 6156	. . . . . . . . 9 |- (1R e. R. -> (1R .R 0R) = 0R)
23	2, 22	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (1R .R 0R) = 0R
24		1idsr 6155	. . . . . . . . 9 |- (0R e. R. -> (0R .R 1R) = 0R)
25	1, 24	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (0R .R 1R) = 0R
26	23, 25	opreq12i 4705	. . . . . . 7 |- ((1R .R 0R) +R (0R .R 1R)) = (0R +R 0R)
27		0idsr 6154	. . . . . . . 8 |- (0R e. R. -> (0R +R 0R) = 0R)
28	1, 27	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (0R +R 0R) = 0R
29	26, 28	eqtri 1745	. . . . . 6 |- ((1R .R 0R) +R (0R .R 1R)) = 0R
30	21, 29	opeq12i 2985	. . . . 5 |- <.((0R .R 0R) +R (-1R .R (1R .R 1R))), ((1R .R 0R) +R (0R .R 1R))>. = <.-1R, 0R>.
31	5, 30	eqtri 1745	. . . 4 |- (<.0R, 1R>. x. <.0R, 1R>.) = <.-1R, 0R>.
32	31	opreq1i 4703	. . 3 |- ((<.0R, 1R>. x. <.0R, 1R>.) + <.1R, 0R>.) = (<.-1R, 0R>. + <.1R, 0R>.)
33		addresr 6204	. . . 4 |- ((-1R e. R. /\ 1R e. R.) -> (<.-1R, 0R>. + <.1R, 0R>.) = <.(-1R +R 1R), 0R>.)
34	11, 2, 33	mp2an 758	. . 3 |- (<.-1R, 0R>. + <.1R, 0R>.) = <.(-1R +R 1R), 0R>.
35		m1p1sr 6149	. . . 4 |- (-1R +R 1R) = 0R
36	35	opeq1i 2983	. . 3 |- <.(-1R +R 1R), 0R>. = <.0R, 0R>.
37	32, 34, 36	3eqtri 1749	. 2 |- ((<.0R, 1R>. x. <.0R, 1R>.) + <.1R, 0R>.) = <.0R, 0R>.
38		df-i 6191	. . . 4 |- _i = <.0R, 1R>.
39	38, 38	opreq12i 4705	. . 3 |- (_i x. _i) = (<.0R, 1R>. x. <.0R, 1R>.)
40		df-1 6190	. . 3 |- 1 = <.1R, 0R>.
41	39, 40	opreq12i 4705	. 2 |- ((_i x. _i) + 1) = ((<.0R, 1R>. x. <.0R, 1R>.) + <.1R, 0R>.)
42		df-0 6189	. 2 |- 0 = <.0R, 0R>.
43	37, 41, 42	3eqtr4i 1758	1 |- ((_i x. _i) + 1) = 0

Syntax hints:   /\ wa 239   = wceq 1136   e. wcel 1138  <.cop 2870  (class class class)co 4695  R.cnr 5941  0Rc0r 5942  1Rc1r 5943  -1Rcm1r 5944   +R cplr 5945   .R cmr 5946  0cc0 6182  1c1 6183  _ici 6184   + caddc 6185   x. cmul 6187

This theorem is referenced by:  0cn 6277  ine0 6393  ixi 6668  ixiOLD 6669  inelr 7780

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1142  ax-gen 1143  ax-8 1144  ax-9 1145  ax-10 1146  ax-11 1147  ax-12 1148  ax-13 1149  ax-14 1150  ax-17 1155  ax-4 1157  ax-5o 1159  ax-6o 1162  ax-9o 1319  ax-10o 1338  ax-16 1418  ax-11o 1426  ax-ext 1702  ax-rep 3243  ax-sep 3253  ax-nul 3260  ax-pow 3296  ax-pr 3339  ax-un 3601  ax-inf2 5540

This theorem depends on definitions:  df-bi 163  df-or 240  df-an 241  df-3or 856  df-3an 857  df-ex 1165  df-sb 1374  df-eu 1613  df-mo 1614  df-clab 1709  df-cleq 1714  df-clel 1717  df-ne 1856  df-ral 1943  df-rex 1944  df-reu 1945  df-rab 1946  df-v 2127  df-sbc 2287  df-csb 2374  df-dif 2430  df-un 2433  df-in 2436  df-ss 2438  df-pss 2440  df-nul 2702  df-if 2807  df-pw 2859  df-sn 2873  df-pr 2874  df-tp 2876  df-op 2877  df-uni 3000  df-int 3037  df-iun 3079  df-br 3159  df-opab 3214  df-tr 3230  df-eprel 3398  df-id 3401  df-po 3406  df-so 3419  df-fr 3440  df-we 3459  df-ord 3475  df-on 3476  df-lim 3477  df-suc 3478  df-om 3761  df-xp 3811  df-rel 3812  df-cnv 3813  df-co 3814  df-dm 3815  df-rn 3816  df-res 3817  df-ima 3818  df-fun 3819  df-fn 3820  df-f 3821  df-fv 3825  df-opr 4697  df-oprab 4698  df-1st 4831  df-2nd 4832  df-rdg 4951  df-1o 4988  df-oadd 4990  df-omul 4991  df-er 5129  df-ec 5131  df-qs 5134  df-ni 5948  df-pli 5949  df-mi 5950  df-lti 5951  df-plpq 5983  df-mpq 5984  df-enq 5985  df-nq 5986  df-plq 5987  df-mq 5988  df-rq 5989  df-ltq 5990  df-1q 5991  df-np 6034  df-1p 6035  df-plp 6036  df-mp 6037  df-ltp 6038  df-plpr 6112  df-mpr 6113  df-enr 6114  df-nr 6115  df-plr 6116  df-mr 6117  df-0r 6119  df-1r 6120  df-m1r 6121  df-c 6188  df-0 6189  df-1 6190  df-i 6191  df-plus 6193  df-mul 6194

Copyright terms: Public domain