Theorem axhv0cl 8862

Description: Derive axiom ax-hv0cl 8880 from Hilbert space under ZF set theory.

Hypotheses

Ref	Expression
axhil.1	|- U = <.<. +h , .h >., normh>.
axhil.2	|- U e. CHil

Assertion

Ref	Expression
axhv0cl	|- 0h e. H~

Proof of Theorem axhv0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axhil.2	. 2 |- U e. CHil
2		df-hba 8845	. . . 4 |- H~ = (Base` <.<. +h , .h >., normh>.)
3		axhil.1	. . . . 5 |- U = <.<. +h , .h >., normh>.
4	3	fveq2i 3741	. . . 4 |- (Base` U) = (Base` <.<. +h , .h >., normh>.)
5	2, 4	eqtr4 1505	. . 3 |- H~ = (Base` U)
6		df-h0v 8846	. . . 4 |- 0h = (0v` <.<. +h , .h >., normh>.)
7	3	fveq2i 3741	. . . 4 |- (0v` U) = (0v` <.<. +h , .h >., normh>.)
8	6, 7	eqtr4 1505	. . 3 |- 0h = (0v` U)
9	5, 8	hl0cl 8612	. 2 |- (U e. CHil -> 0h e. H~)
10	1, 9	ax-mp 7	1 |- 0h e. H~

Syntax hints:   = wceq 960   e. wcel 962  <.cop 2421  ` cfv 3196  Basecba 8213  0vcn0v 8215  CHilchl 8597  H~chil 8795   +h cva 8796   .h csm 8797  0hc0v 8798  normhcno 8801

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 966  ax-gen 967  ax-8 968  ax-9 969  ax-10 970  ax-11 971  ax-12 972  ax-13 973  ax-14 974  ax-17 975  ax-4 977  ax-5o 979  ax-6o 982  ax-9o 1129  ax-10o 1146  ax-16 1216  ax-11o 1224  ax-ext 1466  ax-sep 2716  ax-nul 2723  ax-pow 2756  ax-pr 2793  ax-un 2880

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 781  df-ex 985  df-sb 1178  df-eu 1388  df-mo 1389  df-clab 1471  df-cleq 1476  df-clel 1479  df-ne 1594  df-ral 1656  df-rex 1657  df-reu 1658  df-rab 1659  df-v 1819  df-sbc 1949  df-dif 2058  df-un 2059  df-in 2060  df-ss 2062  df-nul 2290  df-pw 2412  df-sn 2422  df-pr 2423  df-op 2426  df-uni 2516  df-br 2633  df-opab 2680  df-id 2849  df-xp 3198  df-rel 3199  df-cnv 3200  df-co 3201  df-dm 3202  df-rn 3203  df-res 3204  df-ima 3205  df-fun 3206  df-fn 3207  df-f 3208  df-fo 3210  df-fv 3212  df-opr 3979  df-oprab 3980  df-1st 4093  df-2nd 4094  df-grp 8046  df-gid 8047  df-abl 8108  df-vc 8173  df-nv 8219  df-va 8222  df-ba 8223  df-sm 8224  df-0v 8225  df-nm 8227  df-bn 8531  df-hl 8598  df-hba 8845  df-h0v 8846

Copyright terms: Public domain