Theorem axgroth3 8718

Description: Alternate version of Grothendieck's Axiom. ax-ac 4716 is used to derive this version.

Assertion

Ref	Expression
axgroth3	|- E.y(x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) /\ A.z(z (_ y -> ((y \ z) ~<_ z \/ z e. y)))

Distinct variable group:   x,y,z,w,v

Proof of Theorem axgroth3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axgroth2 8717	. 2 |- E.y(x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) /\ A.z(z (_ y -> (y ~<_ z \/ z e. y)))
2		visset 1804	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. V
3	2	dominf 4876	. . . . . . . . . . 11 |- ((y =/= (/) /\ y (_ U.y) -> om ~<_ y)
4		ne0i 2276	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. y -> y =/= (/))
5	3, 4	sylan 448	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. y /\ y (_ U.y) -> om ~<_ y)
6		visset 1804	. . . . . . . . . . 11 |- z e. V
7	2, 6	infdif2 7512	. . . . . . . . . 10 |- (om ~<_ y -> ((y \ z) ~<_ z <-> y ~<_ z))
8	5, 7	syl 10	. . . . . . . . 9 |- ((x e. y /\ y (_ U.y) -> ((y \ z) ~<_ z <-> y ~<_ z))
9	8	orbi1d 613	. . . . . . . 8 |- ((x e. y /\ y (_ U.y) -> (((y \ z) ~<_ z \/ z e. y) <-> (y ~<_ z \/ z e. y)))
10	9	imbi2d 610	. . . . . . 7 |- ((x e. y /\ y (_ U.y) -> ((z (_ y -> ((y \ z) ~<_ z \/ z e. y)) <-> (z (_ y -> (y ~<_ z \/ z e. y))))
11	10	albidv 1273	. . . . . 6 |- ((x e. y /\ y (_ U.y) -> (A.z(z (_ y -> ((y \ z) ~<_ z \/ z e. y)) <-> A.z(z (_ y -> (y ~<_ z \/ z e. y))))
12		ssid 2070	. . . . . . . . . . . 12 |- z (_ z
13		sseq1 2072	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (v = z -> (v (_ z <-> z (_ z))
14		elequ1 1132	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (v = z -> (v e. w <-> z e. w))
15	13, 14	imbi12d 624	. . . . . . . . . . . . 13 |- (v = z -> ((v (_ z -> v e. w) <-> (z (_ z -> z e. w)))
16	15	a4v 1267	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.v(v (_ z -> v e. w) -> (z (_ z -> z e. w))
17	12, 16	mpi 44	. . . . . . . . . . 11 |- (A.v(v (_ z -> v e. w) -> z e. w)
18	17	r19.22si 1726	. . . . . . . . . 10 |- (E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w) -> E.w e. y z e. w)
19		eluni2 2497	. . . . . . . . . 10 |- (z e. U.y <-> E.w e. y z e. w)
20	18, 19	sylibr 200	. . . . . . . . 9 |- (E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w) -> z e. U.y)
21	20	adantl 388	. . . . . . . 8 |- ((A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) -> z e. U.y)
22	21	r19.20si 1698	. . . . . . 7 |- (A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) -> A.z e. y z e. U.y)
23		dfss3 2049	. . . . . . 7 |- (y (_ U.y <-> A.z e. y z e. U.y)
24	22, 23	sylibr 200	. . . . . 6 |- (A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) -> y (_ U.y)
25	11, 24	sylan2 451	. . . . 5 |- ((x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w))) -> (A.z(z (_ y -> ((y \ z) ~<_ z \/ z e. y)) <-> A.z(z (_ y -> (y ~<_ z \/ z e. y))))
26	25	pm5.32i 643	. . . 4 |- (((x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w))) /\ A.z(z (_ y -> ((y \ z) ~<_ z \/ z e. y))) <-> ((x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w))) /\ A.z(z (_ y -> (y ~<_ z \/ z e. y))))
27		df-3an 775	. . . 4 |- ((x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) /\ A.z(z (_ y -> ((y \ z) ~<_ z \/ z e. y))) <-> ((x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w))) /\ A.z(z (_ y -> ((y \ z) ~<_ z \/ z e. y))))
28		df-3an 775	. . . 4 |- ((x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) /\ A.z(z (_ y -> (y ~<_ z \/ z e. y))) <-> ((x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w))) /\ A.z(z (_ y -> (y ~<_ z \/ z e. y))))
29	26, 27, 28	3bitr4 183	. . 3 |- ((x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) /\ A.z(z (_ y -> ((y \ z) ~<_ z \/ z e. y))) <-> (x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) /\ A.z(z (_ y -> (y ~<_ z \/ z e. y))))
30	29	exbii 1047	. 2 |- (E.y(x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) /\ A.z(z (_ y -> ((y \ z) ~<_ z \/ z e. y))) <-> E.y(x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) /\ A.z(z (_ y -> (y ~<_ z \/ z e. y))))
31	1, 30	mpbir 190	1 |- E.y(x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) /\ A.z(z (_ y -> ((y \ z) ~<_ z \/ z e. y)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   /\ w3a 773  A.wal 951   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977   =/= wne 1577  A.wral 1637  E.wrex 1638   \ cdif 2034   (_ wss 2037  (/)c0 2270  U.cuni 2493   class class class wbr 2609  omcom 3121   ~<_ cdom 4349

This theorem is referenced by:  axgroth4 8719

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-reg 4565  ax-inf2 4597  ax-ac 4716  ax-groth 8716

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-iso 3189  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-2o 4118  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-map 4308  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-card 4788  df-cda 4890  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-n 5873  df-2 5917  df-n0 6047  df-z 6083  df-seq1 6245  df-exp 6501

Copyright terms: Public domain