Theorem axgroth2 8778

Description: Alternate version of Grothendieck's Axiom.

Assertion

Ref	Expression
axgroth2	|- E.y(x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) /\ A.z(z (_ y -> (y ~<_ z \/ z e. y)))

Distinct variable group:   x,y,z,w,v

Proof of Theorem axgroth2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-groth 8777	. 2 |- E.y(x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) /\ A.z(z (_ y -> (z ~~ y \/ z e. y)))
2		visset 1813	. . . . . . . . . 10 |- z e. V
3		ssdomg 4408	. . . . . . . . . 10 |- (z e. V -> (z (_ y -> z ~<_ y))
4	2, 3	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- (z (_ y -> z ~<_ y)
5	4	biantrurd 727	. . . . . . . 8 |- (z (_ y -> (y ~<_ z <-> (z ~<_ y /\ y ~<_ z)))
6		visset 1813	. . . . . . . . 9 |- y e. V
7		sbthbg 4458	. . . . . . . . 9 |- (y e. V -> ((z ~<_ y /\ y ~<_ z) <-> z ~~ y))
8	6, 7	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- ((z ~<_ y /\ y ~<_ z) <-> z ~~ y)
9	5, 8	syl6bb 536	. . . . . . 7 |- (z (_ y -> (y ~<_ z <-> z ~~ y))
10	9	orbi1d 615	. . . . . 6 |- (z (_ y -> ((y ~<_ z \/ z e. y) <-> (z ~~ y \/ z e. y)))
11	10	pm5.74i 584	. . . . 5 |- ((z (_ y -> (y ~<_ z \/ z e. y)) <-> (z (_ y -> (z ~~ y \/ z e. y)))
12	11	albii 999	. . . 4 |- (A.z(z (_ y -> (y ~<_ z \/ z e. y)) <-> A.z(z (_ y -> (z ~~ y \/ z e. y)))
13	12	3anbi3i 826	. . 3 |- ((x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) /\ A.z(z (_ y -> (y ~<_ z \/ z e. y))) <-> (x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) /\ A.z(z (_ y -> (z ~~ y \/ z e. y))))
14	13	exbii 1051	. 2 |- (E.y(x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) /\ A.z(z (_ y -> (y ~<_ z \/ z e. y))) <-> E.y(x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) /\ A.z(z (_ y -> (z ~~ y \/ z e. y))))
15	1, 14	mpbir 190	1 |- E.y(x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) /\ A.z(z (_ y -> (y ~<_ z \/ z e. y)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   /\ w3a 775  A.wal 954   e. wcel 958  E.wex 980  A.wral 1645  E.wrex 1646  Vcvv 1811   (_ wss 2047   class class class wbr 2619   ~~ cen 4364   ~<_ cdom 4365

This theorem is referenced by:  axgroth3 8779

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-groth 8777

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-er 4261  df-en 4368  df-dom 4369

Copyright terms: Public domain