Theorem axdistr 6228

Description: Distributive law for complex numbers. Axiom 13 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axdistr	|- ((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) -> (A x. (B + C)) = ((A x. B) + (A x. C)))

Proof of Theorem axdistr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcnqs 6210	. 2 |- CC = ((R. X. R.)/.`'_E)
2		addcnsrec 6211	. 2 |- (((z e. R. /\ w e. R.) /\ (v e. R. /\ u e. R.)) -> ([<.z, w>.]`'_E + [<.v, u>.]`'_E) = [<.(z +R v), (w +R u)>.]`'_E)
3		mulcnsrec 6212	. 2 |- (((x e. R. /\ y e. R.) /\ ((z +R v) e. R. /\ (w +R u) e. R.)) -> ([<.x, y>.]`'_E x. [<.(z +R v), (w +R u)>.]`'_E) = [<.((x .R (z +R v)) +R (-1R .R (y .R (w +R u)))), ((y .R (z +R v)) +R (x .R (w +R u)))>.]`'_E)
4		mulcnsrec 6212	. 2 |- (((x e. R. /\ y e. R.) /\ (z e. R. /\ w e. R.)) -> ([<.x, y>.]`'_E x. [<.z, w>.]`'_E) = [<.((x .R z) +R (-1R .R (y .R w))), ((y .R z) +R (x .R w))>.]`'_E)
5		mulcnsrec 6212	. 2 |- (((x e. R. /\ y e. R.) /\ (v e. R. /\ u e. R.)) -> ([<.x, y>.]`'_E x. [<.v, u>.]`'_E) = [<.((x .R v) +R (-1R .R (y .R u))), ((y .R v) +R (x .R u))>.]`'_E)
6		addcnsrec 6211	. 2 |- (((((x .R z) +R (-1R .R (y .R w))) e. R. /\ ((y .R z) +R (x .R w)) e. R.) /\ (((x .R v) +R (-1R .R (y .R u))) e. R. /\ ((y .R v) +R (x .R u)) e. R.)) -> ([<.((x .R z) +R (-1R .R (y .R w))), ((y .R z) +R (x .R w))>.]`'_E + [<.((x .R v) +R (-1R .R (y .R u))), ((y .R v) +R (x .R u))>.]`'_E) = [<.(((x .R z) +R (-1R .R (y .R w))) +R ((x .R v) +R (-1R .R (y .R u)))), (((y .R z) +R (x .R w)) +R ((y .R v) +R (x .R u)))>.]`'_E)
7		addclsr 6140	. . . 4 |- ((z e. R. /\ v e. R.) -> (z +R v) e. R.)
8		addclsr 6140	. . . 4 |- ((w e. R. /\ u e. R.) -> (w +R u) e. R.)
9	7, 8	anim12i 358	. . 3 |- (((z e. R. /\ v e. R.) /\ (w e. R. /\ u e. R.)) -> ((z +R v) e. R. /\ (w +R u) e. R.))
10	9	an4s 563	. 2 |- (((z e. R. /\ w e. R.) /\ (v e. R. /\ u e. R.)) -> ((z +R v) e. R. /\ (w +R u) e. R.))
11		addclsr 6140	. . . . 5 |- (((x .R z) e. R. /\ (-1R .R (y .R w)) e. R.) -> ((x .R z) +R (-1R .R (y .R w))) e. R.)
12		mulclsr 6141	. . . . 5 |- ((x e. R. /\ z e. R.) -> (x .R z) e. R.)
13		mulclsr 6141	. . . . . 6 |- ((-1R e. R. /\ (y .R w) e. R.) -> (-1R .R (y .R w)) e. R.)
14		m1r 6139	. . . . . 6 |- -1R e. R.
15		mulclsr 6141	. . . . . 6 |- ((y e. R. /\ w e. R.) -> (y .R w) e. R.)
16	13, 14, 15	sylancr 523	. . . . 5 |- ((y e. R. /\ w e. R.) -> (-1R .R (y .R w)) e. R.)
17	11, 12, 16	syl2an 501	. . . 4 |- (((x e. R. /\ z e. R.) /\ (y e. R. /\ w e. R.)) -> ((x .R z) +R (-1R .R (y .R w))) e. R.)
18	17	an4s 563	. . 3 |- (((x e. R. /\ y e. R.) /\ (z e. R. /\ w e. R.)) -> ((x .R z) +R (-1R .R (y .R w))) e. R.)
19		addclsr 6140	. . . . . 6 |- (((y .R z) e. R. /\ (x .R w) e. R.) -> ((y .R z) +R (x .R w)) e. R.)
20		mulclsr 6141	. . . . . 6 |- ((y e. R. /\ z e. R.) -> (y .R z) e. R.)
21		mulclsr 6141	. . . . . 6 |- ((x e. R. /\ w e. R.) -> (x .R w) e. R.)
22	19, 20, 21	syl2an 501	. . . . 5 |- (((y e. R. /\ z e. R.) /\ (x e. R. /\ w e. R.)) -> ((y .R z) +R (x .R w)) e. R.)
23	22	ancoms 482	. . . 4 |- (((x e. R. /\ w e. R.) /\ (y e. R. /\ z e. R.)) -> ((y .R z) +R (x .R w)) e. R.)
24	23	an42s 564	. . 3 |- (((x e. R. /\ y e. R.) /\ (z e. R. /\ w e. R.)) -> ((y .R z) +R (x .R w)) e. R.)
25	18, 24	jca 308	. 2 |- (((x e. R. /\ y e. R.) /\ (z e. R. /\ w e. R.)) -> (((x .R z) +R (-1R .R (y .R w))) e. R. /\ ((y .R z) +R (x .R w)) e. R.))
26		addclsr 6140	. . . . 5 |- (((x .R v) e. R. /\ (-1R .R (y .R u)) e. R.) -> ((x .R v) +R (-1R .R (y .R u))) e. R.)
27		mulclsr 6141	. . . . 5 |- ((x e. R. /\ v e. R.) -> (x .R v) e. R.)
28		mulclsr 6141	. . . . . 6 |- ((-1R e. R. /\ (y .R u) e. R.) -> (-1R .R (y .R u)) e. R.)
29		mulclsr 6141	. . . . . 6 |- ((y e. R. /\ u e. R.) -> (y .R u) e. R.)
30	28, 14, 29	sylancr 523	. . . . 5 |- ((y e. R. /\ u e. R.) -> (-1R .R (y .R u)) e. R.)
31	26, 27, 30	syl2an 501	. . . 4 |- (((x e. R. /\ v e. R.) /\ (y e. R. /\ u e. R.)) -> ((x .R v) +R (-1R .R (y .R u))) e. R.)
32	31	an4s 563	. . 3 |- (((x e. R. /\ y e. R.) /\ (v e. R. /\ u e. R.)) -> ((x .R v) +R (-1R .R (y .R u))) e. R.)
33		addclsr 6140	. . . . . 6 |- (((y .R v) e. R. /\ (x .R u) e. R.) -> ((y .R v) +R (x .R u)) e. R.)
34		mulclsr 6141	. . . . . 6 |- ((y e. R. /\ v e. R.) -> (y .R v) e. R.)
35		mulclsr 6141	. . . . . 6 |- ((x e. R. /\ u e. R.) -> (x .R u) e. R.)
36	33, 34, 35	syl2an 501	. . . . 5 |- (((y e. R. /\ v e. R.) /\ (x e. R. /\ u e. R.)) -> ((y .R v) +R (x .R u)) e. R.)
37	36	ancoms 482	. . . 4 |- (((x e. R. /\ u e. R.) /\ (y e. R. /\ v e. R.)) -> ((y .R v) +R (x .R u)) e. R.)
38	37	an42s 564	. . 3 |- (((x e. R. /\ y e. R.) /\ (v e. R. /\ u e. R.)) -> ((y .R v) +R (x .R u)) e. R.)
39	32, 38	jca 308	. 2 |- (((x e. R. /\ y e. R.) /\ (v e. R. /\ u e. R.)) -> (((x .R v) +R (-1R .R (y .R u))) e. R. /\ ((y .R v) +R (x .R u)) e. R.))
40		visset 2128	. . . . 5 |- z e. _V
41		visset 2128	. . . . 5 |- v e. _V
42	40, 41	distrsr 6148	. . . 4 |- (x .R (z +R v)) = ((x .R z) +R (x .R v))
43		visset 2128	. . . . . . 7 |- w e. _V
44		visset 2128	. . . . . . 7 |- u e. _V
45	43, 44	distrsr 6148	. . . . . 6 |- (y .R (w +R u)) = ((y .R w) +R (y .R u))
46	45	opreq2i 4704	. . . . 5 |- (-1R .R (y .R (w +R u))) = (-1R .R ((y .R w) +R (y .R u)))
47		oprex 4718	. . . . . 6 |- (y .R w) e. _V
48		oprex 4718	. . . . . 6 |- (y .R u) e. _V
49	47, 48	distrsr 6148	. . . . 5 |- (-1R .R ((y .R w) +R (y .R u))) = ((-1R .R (y .R w)) +R (-1R .R (y .R u)))
50	46, 49	eqtri 1745	. . . 4 |- (-1R .R (y .R (w +R u))) = ((-1R .R (y .R w)) +R (-1R .R (y .R u)))
51	42, 50	opreq12i 4705	. . 3 |- ((x .R (z +R v)) +R (-1R .R (y .R (w +R u)))) = (((x .R z) +R (x .R v)) +R ((-1R .R (y .R w)) +R (-1R .R (y .R u))))
52		oprex 4718	. . . 4 |- (x .R z) e. _V
53		oprex 4718	. . . 4 |- (x .R v) e. _V
54		oprex 4718	. . . 4 |- (-1R .R (y .R w)) e. _V
55		visset 2128	. . . . 5 |- f e. _V
56		visset 2128	. . . . 5 |- g e. _V
57	55, 56	addcomsr 6144	. . . 4 |- (f +R g) = (g +R f)
58		visset 2128	. . . . 5 |- h e. _V
59	56, 58	addasssr 6145	. . . 4 |- ((f +R g) +R h) = (f +R (g +R h))
60		oprex 4718	. . . 4 |- (-1R .R (y .R u)) e. _V
61	52, 53, 54, 57, 59, 60	caopr4 4808	. . 3 |- (((x .R z) +R (x .R v)) +R ((-1R .R (y .R w)) +R (-1R .R (y .R u)))) = (((x .R z) +R (-1R .R (y .R w))) +R ((x .R v) +R (-1R .R (y .R u))))
62	51, 61	eqtri 1745	. 2 |- ((x .R (z +R v)) +R (-1R .R (y .R (w +R u)))) = (((x .R z) +R (-1R .R (y .R w))) +R ((x .R v) +R (-1R .R (y .R u))))
63	40, 41	distrsr 6148	. . . 4 |- (y .R (z +R v)) = ((y .R z) +R (y .R v))
64	43, 44	distrsr 6148	. . . 4 |- (x .R (w +R u)) = ((x .R w) +R (x .R u))
65	63, 64	opreq12i 4705	. . 3 |- ((y .R (z +R v)) +R (x .R (w +R u))) = (((y .R z) +R (y .R v)) +R ((x .R w) +R (x .R u)))
66		oprex 4718	. . . 4 |- (y .R z) e. _V
67		oprex 4718	. . . 4 |- (y .R v) e. _V
68		oprex 4718	. . . 4 |- (x .R w) e. _V
69		oprex 4718	. . . 4 |- (x .R u) e. _V
70	66, 67, 68, 57, 59, 69	caopr4 4808	. . 3 |- (((y .R z) +R (y .R v)) +R ((x .R w) +R (x .R u))) = (((y .R z) +R (x .R w)) +R ((y .R v) +R (x .R u)))
71	65, 70	eqtri 1745	. 2 |- ((y .R (z +R v)) +R (x .R (w +R u))) = (((y .R z) +R (x .R w)) +R ((y .R v) +R (x .R u)))
72	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 25, 39, 62, 71	ecoprdi 5191	1 |- ((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) -> (A x. (B + C)) = ((A x. B) + (A x. C)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 239   /\ w3a 855   = wceq 1136   e. wcel 1138  _Ecep 3396  `'ccnv 3796  (class class class)co 4695  R.cnr 5941  -1Rcm1r 5944   +R cplr 5945   .R cmr 5946  CCcc 6180   + caddc 6185   x. cmul 6187

This theorem is referenced by:  adddi 6258  muladd 6378

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1142  ax-gen 1143  ax-8 1144  ax-9 1145  ax-10 1146  ax-11 1147  ax-12 1148  ax-13 1149  ax-14 1150  ax-17 1155  ax-4 1157  ax-5o 1159  ax-6o 1162  ax-9o 1319  ax-10o 1338  ax-16 1418  ax-11o 1426  ax-ext 1702  ax-rep 3243  ax-sep 3253  ax-nul 3260  ax-pow 3296  ax-pr 3339  ax-un 3601  ax-inf2 5540

This theorem depends on definitions:  df-bi 163  df-or 240  df-an 241  df-3or 856  df-3an 857  df-ex 1165  df-sb 1374  df-eu 1613  df-mo 1614  df-clab 1709  df-cleq 1714  df-clel 1717  df-ne 1856  df-ral 1943  df-rex 1944  df-reu 1945  df-rab 1946  df-v 2127  df-sbc 2287  df-csb 2374  df-dif 2430  df-un 2433  df-in 2436  df-ss 2438  df-pss 2440  df-nul 2702  df-if 2807  df-pw 2859  df-sn 2873  df-pr 2874  df-tp 2876  df-op 2877  df-uni 3000  df-int 3037  df-iun 3079  df-br 3159  df-opab 3214  df-tr 3230  df-eprel 3398  df-id 3401  df-po 3406  df-so 3419  df-fr 3440  df-we 3459  df-ord 3475  df-on 3476  df-lim 3477  df-suc 3478  df-om 3761  df-xp 3811  df-rel 3812  df-cnv 3813  df-co 3814  df-dm 3815  df-rn 3816  df-res 3817  df-ima 3818  df-fun 3819  df-fn 3820  df-f 3821  df-fv 3825  df-opr 4697  df-oprab 4698  df-1st 4831  df-2nd 4832  df-rdg 4951  df-1o 4988  df-oadd 4990  df-omul 4991  df-er 5129  df-ec 5131  df-qs 5134  df-ni 5948  df-pli 5949  df-mi 5950  df-lti 5951  df-plpq 5983  df-mpq 5984  df-enq 5985  df-nq 5986  df-plq 5987  df-mq 5988  df-rq 5989  df-ltq 5990  df-1q 5991  df-np 6034  df-1p 6035  df-plp 6036  df-mp 6037  df-ltp 6038  df-plpr 6112  df-mpr 6113  df-enr 6114  df-nr 6115  df-plr 6116  df-mr 6117  df-m1r 6121  df-c 6188  df-plus 6193  df-mul 6194

Copyright terms: Public domain