Theorem axcnre 6235

Description: A complex number can be expressed in terms of two reals. Definition 10-1.1(v) of [Gleason] p. 130. Axiom 20 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axcnre	|- (A e. CC -> E.x e. RR E.y e. RR A = (x + (_i x. y)))

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem axcnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-c 6188	. 2 |- CC = (R. X. R.)
2		eqeq1 1727	. . 3 |- (<.z, w>. = A -> (<.z, w>. = (x + (_i x. y)) <-> A = (x + (_i x. y))))
3	2	2rexbidv 1975	. 2 |- (<.z, w>. = A -> (E.x e. RR E.y e. RR <.z, w>. = (x + (_i x. y)) <-> E.x e. RR E.y e. RR A = (x + (_i x. y))))
4		opex 3342	. . . . 5 |- <.z, 0R>. e. _V
5		opex 3342	. . . . 5 |- <.w, 0R>. e. _V
6		eleq1 1794	. . . . . . 7 |- (x = <.z, 0R>. -> (x e. RR <-> <.z, 0R>. e. RR))
7		eleq1 1794	. . . . . . 7 |- (y = <.w, 0R>. -> (y e. RR <-> <.w, 0R>. e. RR))
8	6, 7	bi2anan9 691	. . . . . 6 |- ((x = <.z, 0R>. /\ y = <.w, 0R>.) -> ((x e. RR /\ y e. RR) <-> (<.z, 0R>. e. RR /\ <.w, 0R>. e. RR)))
9		opreq1 4700	. . . . . . . 8 |- (x = <.z, 0R>. -> (x + (_i x. y)) = (<.z, 0R>. + (_i x. y)))
10		opreq2 4701	. . . . . . . . 9 |- (y = <.w, 0R>. -> (_i x. y) = (_i x. <.w, 0R>.))
11	10	opreq2d 4709	. . . . . . . 8 |- (y = <.w, 0R>. -> (<.z, 0R>. + (_i x. y)) = (<.z, 0R>. + (_i x. <.w, 0R>.)))
12	9, 11	sylan9eq 1785	. . . . . . 7 |- ((x = <.z, 0R>. /\ y = <.w, 0R>.) -> (x + (_i x. y)) = (<.z, 0R>. + (_i x. <.w, 0R>.)))
13	12	eqeq2d 1732	. . . . . 6 |- ((x = <.z, 0R>. /\ y = <.w, 0R>.) -> (<.z, w>. = (x + (_i x. y)) <-> <.z, w>. = (<.z, 0R>. + (_i x. <.w, 0R>.))))
14	8, 13	anbi12d 687	. . . . 5 |- ((x = <.z, 0R>. /\ y = <.w, 0R>.) -> (((x e. RR /\ y e. RR) /\ <.z, w>. = (x + (_i x. y))) <-> ((<.z, 0R>. e. RR /\ <.w, 0R>. e. RR) /\ <.z, w>. = (<.z, 0R>. + (_i x. <.w, 0R>.)))))
15	4, 5, 14	cla42ev 2205	. . . 4 |- (((<.z, 0R>. e. RR /\ <.w, 0R>. e. RR) /\ <.z, w>. = (<.z, 0R>. + (_i x. <.w, 0R>.))) -> E.xE.y((x e. RR /\ y e. RR) /\ <.z, w>. = (x + (_i x. y))))
16		opelreal 6197	. . . . . 6 |- (<.z, 0R>. e. RR <-> z e. R.)
17		opelreal 6197	. . . . . 6 |- (<.w, 0R>. e. RR <-> w e. R.)
18	16, 17	anbi12i 537	. . . . 5 |- ((<.z, 0R>. e. RR /\ <.w, 0R>. e. RR) <-> (z e. R. /\ w e. R.))
19	18	biimpri 168	. . . 4 |- ((z e. R. /\ w e. R.) -> (<.z, 0R>. e. RR /\ <.w, 0R>. e. RR))
20		0r 6137	. . . . . . . . . 10 |- 0R e. R.
21		1r 6138	. . . . . . . . . . . 12 |- 1R e. R.
22	20, 21	pm3.2i 305	. . . . . . . . . . 11 |- (0R e. R. /\ 1R e. R.)
23		mulcnsr 6202	. . . . . . . . . . 11 |- (((0R e. R. /\ 1R e. R.) /\ (w e. R. /\ 0R e. R.)) -> (<.0R, 1R>. x. <.w, 0R>.) = <.((0R .R w) +R (-1R .R (1R .R 0R))), ((1R .R w) +R (0R .R 0R))>.)
24	22, 23	mpan 756	. . . . . . . . . 10 |- ((w e. R. /\ 0R e. R.) -> (<.0R, 1R>. x. <.w, 0R>.) = <.((0R .R w) +R (-1R .R (1R .R 0R))), ((1R .R w) +R (0R .R 0R))>.)
25	20, 24	mpan2 757	. . . . . . . . 9 |- (w e. R. -> (<.0R, 1R>. x. <.w, 0R>.) = <.((0R .R w) +R (-1R .R (1R .R 0R))), ((1R .R w) +R (0R .R 0R))>.)
26		00sr 6156	. . . . . . . . . . . . 13 |- (w e. R. -> (w .R 0R) = 0R)
27	20	elisseti 2134	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0R e. _V
28		visset 2128	. . . . . . . . . . . . . 14 |- w e. _V
29	27, 28	mulcomsr 6146	. . . . . . . . . . . . 13 |- (0R .R w) = (w .R 0R)
30	26, 29	syl5eq 1777	. . . . . . . . . . . 12 |- (w e. R. -> (0R .R w) = 0R)
31	30	opreq1d 4708	. . . . . . . . . . 11 |- (w e. R. -> ((0R .R w) +R (-1R .R (1R .R 0R))) = (0R +R (-1R .R (1R .R 0R))))
32		00sr 6156	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (1R e. R. -> (1R .R 0R) = 0R)
33	21, 32	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (1R .R 0R) = 0R
34	33	opreq2i 4704	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (-1R .R (1R .R 0R)) = (-1R .R 0R)
35		m1r 6139	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -1R e. R.
36		00sr 6156	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (-1R e. R. -> (-1R .R 0R) = 0R)
37	35, 36	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (-1R .R 0R) = 0R
38	34, 37	eqtri 1745	. . . . . . . . . . . . 13 |- (-1R .R (1R .R 0R)) = 0R
39	38	opreq2i 4704	. . . . . . . . . . . 12 |- (0R +R (-1R .R (1R .R 0R))) = (0R +R 0R)
40		0idsr 6154	. . . . . . . . . . . . 13 |- (0R e. R. -> (0R +R 0R) = 0R)
41	20, 40	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . 12 |- (0R +R 0R) = 0R
42	39, 41	eqtri 1745	. . . . . . . . . . 11 |- (0R +R (-1R .R (1R .R 0R))) = 0R
43	31, 42	syl6eq 1781	. . . . . . . . . 10 |- (w e. R. -> ((0R .R w) +R (-1R .R (1R .R 0R))) = 0R)
44		1idsr 6155	. . . . . . . . . . . . 13 |- (w e. R. -> (w .R 1R) = w)
45	21	elisseti 2134	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1R e. _V
46	45, 28	mulcomsr 6146	. . . . . . . . . . . . 13 |- (1R .R w) = (w .R 1R)
47	44, 46	syl5eq 1777	. . . . . . . . . . . 12 |- (w e. R. -> (1R .R w) = w)
48	47	opreq1d 4708	. . . . . . . . . . 11 |- (w e. R. -> ((1R .R w) +R (0R .R 0R)) = (w +R (0R .R 0R)))
49		0idsr 6154	. . . . . . . . . . . 12 |- (w e. R. -> (w +R 0R) = w)
50		00sr 6156	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (0R e. R. -> (0R .R 0R) = 0R)
51	20, 50	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . 13 |- (0R .R 0R) = 0R
52	51	opreq2i 4704	. . . . . . . . . . . 12 |- (w +R (0R .R 0R)) = (w +R 0R)
53	49, 52	syl5eq 1777	. . . . . . . . . . 11 |- (w e. R. -> (w +R (0R .R 0R)) = w)
54	48, 53	eqtrd 1762	. . . . . . . . . 10 |- (w e. R. -> ((1R .R w) +R (0R .R 0R)) = w)
55	43, 54	opeq12d 2988	. . . . . . . . 9 |- (w e. R. -> <.((0R .R w) +R (-1R .R (1R .R 0R))), ((1R .R w) +R (0R .R 0R))>. = <.0R, w>.)
56	25, 55	eqtrd 1762	. . . . . . . 8 |- (w e. R. -> (<.0R, 1R>. x. <.w, 0R>.) = <.0R, w>.)
57		df-i 6191	. . . . . . . . 9 |- _i = <.0R, 1R>.
58	57	opreq1i 4703	. . . . . . . 8 |- (_i x. <.w, 0R>.) = (<.0R, 1R>. x. <.w, 0R>.)
59	56, 58	syl5eq 1777	. . . . . . 7 |- (w e. R. -> (_i x. <.w, 0R>.) = <.0R, w>.)
60	59	opreq2d 4709	. . . . . 6 |- (w e. R. -> (<.z, 0R>. + (_i x. <.w, 0R>.)) = (<.z, 0R>. + <.0R, w>.))
61	60	adantl 422	. . . . 5 |- ((z e. R. /\ w e. R.) -> (<.z, 0R>. + (_i x. <.w, 0R>.)) = (<.z, 0R>. + <.0R, w>.))
62		addcnsr 6201	. . . . . . 7 |- (((z e. R. /\ 0R e. R.) /\ (0R e. R. /\ w e. R.)) -> (<.z, 0R>. + <.0R, w>.) = <.(z +R 0R), (0R +R w)>.)
63	20, 62	mpanl2 768	. . . . . 6 |- ((z e. R. /\ (0R e. R. /\ w e. R.)) -> (<.z, 0R>. + <.0R, w>.) = <.(z +R 0R), (0R +R w)>.)
64	20, 63	mpanr1 771	. . . . 5 |- ((z e. R. /\ w e. R.) -> (<.z, 0R>. + <.0R, w>.) = <.(z +R 0R), (0R +R w)>.)
65		opeq12 2982	. . . . . 6 |- (((z +R 0R) = z /\ (0R +R w) = w) -> <.(z +R 0R), (0R +R w)>. = <.z, w>.)
66		0idsr 6154	. . . . . 6 |- (z e. R. -> (z +R 0R) = z)
67	27, 28	addcomsr 6144	. . . . . . 7 |- (0R +R w) = (w +R 0R)
68	49, 67	syl5eq 1777	. . . . . 6 |- (w e. R. -> (0R +R w) = w)
69	65, 66, 68	syl2an 501	. . . . 5 |- ((z e. R. /\ w e. R.) -> <.(z +R 0R), (0R +R w)>. = <.z, w>.)
70	61, 64, 69	3eqtrrd 1767	. . . 4 |- ((z e. R. /\ w e. R.) -> <.z, w>. = (<.z, 0R>. + (_i x. <.w, 0R>.)))
71	15, 19, 70	sylanc 521	. . 3 |- ((z e. R. /\ w e. R.) -> E.xE.y((x e. RR /\ y e. RR) /\ <.z, w>. = (x + (_i x. y))))
72		r2ex 1986	. . 3 |- (E.x e. RR E.y e. RR <.z, w>. = (x + (_i x. y)) <-> E.xE.y((x e. RR /\ y e. RR) /\ <.z, w>. = (x + (_i x. y))))
73	71, 72	sylibr 216	. 2 |- ((z e. R. /\ w e. R.) -> E.x e. RR E.y e. RR <.z, w>. = (x + (_i x. y)))
74	1, 3, 73	optocl 3872	1 |- (A e. CC -> E.x e. RR E.y e. RR A = (x + (_i x. y)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 239   = wceq 1136   e. wcel 1138  E.wex 1164  E.wrex 1940  <.cop 2870  (class class class)co 4695  R.cnr 5941  0Rc0r 5942  1Rc1r 5943  -1Rcm1r 5944   +R cplr 5945   .R cmr 5946  CCcc 6180  RRcr 6181  _ici 6184   + caddc 6185   x. cmul 6187

This theorem is referenced by:  cnegexlem2 6296  cnegex 6298  1re 6394  0re 6399  recex 6672  creur 7787  creui 7788  ipasslem11 9636

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1142  ax-gen 1143  ax-8 1144  ax-9 1145  ax-10 1146  ax-11 1147  ax-12 1148  ax-13 1149  ax-14 1150  ax-17 1155  ax-4 1157  ax-5o 1159  ax-6o 1162  ax-9o 1319  ax-10o 1338  ax-16 1418  ax-11o 1426  ax-ext 1702  ax-rep 3243  ax-sep 3253  ax-nul 3260  ax-pow 3296  ax-pr 3339  ax-un 3601  ax-inf2 5540

This theorem depends on definitions:  df-bi 163  df-or 240  df-an 241  df-3or 856  df-3an 857  df-ex 1165  df-sb 1374  df-eu 1613  df-mo 1614  df-clab 1709  df-cleq 1714  df-clel 1717  df-ne 1856  df-ral 1943  df-rex 1944  df-reu 1945  df-rab 1946  df-v 2127  df-sbc 2287  df-csb 2374  df-dif 2430  df-un 2433  df-in 2436  df-ss 2438  df-pss 2440  df-nul 2702  df-if 2807  df-pw 2859  df-sn 2873  df-pr 2874  df-tp 2876  df-op 2877  df-uni 3000  df-int 3037  df-iun 3079  df-br 3159  df-opab 3214  df-tr 3230  df-eprel 3398  df-id 3401  df-po 3406  df-so 3419  df-fr 3440  df-we 3459  df-ord 3475  df-on 3476  df-lim 3477  df-suc 3478  df-om 3761  df-xp 3811  df-rel 3812  df-cnv 3813  df-co 3814  df-dm 3815  df-rn 3816  df-res 3817  df-ima 3818  df-fun 3819  df-fn 3820  df-f 3821  df-fv 3825  df-opr 4697  df-oprab 4698  df-1st 4831  df-2nd 4832  df-rdg 4951  df-1o 4988  df-oadd 4990  df-omul 4991  df-er 5129  df-ec 5131  df-qs 5134  df-ni 5948  df-pli 5949  df-mi 5950  df-lti 5951  df-plpq 5983  df-mpq 5984  df-enq 5985  df-nq 5986  df-plq 5987  df-mq 5988  df-rq 5989  df-ltq 5990  df-1q 5991  df-np 6034  df-1p 6035  df-plp 6036  df-mp 6037  df-ltp 6038  df-plpr 6112  df-mpr 6113  df-enr 6114  df-nr 6115  df-plr 6116  df-mr 6117  df-0r 6119  df-1r 6120  df-m1r 6121  df-c 6188  df-i 6191  df-r 6192  df-plus 6193  df-mul 6194

Copyright terms: Public domain