Theorem axaddopr 5277

Description: Addition is an operation on the complex numbers. This theorem can be used as an alternate axiom for complex numbers in place of the less specific axaddcl 5283.

Assertion

Ref	Expression
axaddopr	|- + :(CC X. CC)-->CC

Proof of Theorem axaddopr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffnoprval 4020	. 2 |- ( + :(CC X. CC)-->CC <-> ( + Fn (CC X. CC) /\ A.x e. CC A.y e. CC (x + y) e. CC))
2		df-fn 3199	. . 3 |- ( + Fn (CC X. CC) <-> (Fun + /\ dom + = (CC X. CC)))
3		moeq 1923	. . . . . . . . 9 |- E*z z = <.(w +R u), (v +R f)>.
4	3	mosubop 2811	. . . . . . . 8 |- E*zE.uE.f(y = <.u, f>. /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.)
5	4	mosubop 2811	. . . . . . 7 |- E*zE.wE.v(x = <.w, v>. /\ E.uE.f(y = <.u, f>. /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.))
6		anass 441	. . . . . . . . . . 11 |- (((x = <.w, v>. /\ y = <.u, f>.) /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.) <-> (x = <.w, v>. /\ (y = <.u, f>. /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.)))
7	6	2exbii 1054	. . . . . . . . . 10 |- (E.uE.f((x = <.w, v>. /\ y = <.u, f>.) /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.) <-> E.uE.f(x = <.w, v>. /\ (y = <.u, f>. /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.)))
8		19.42vv 1312	. . . . . . . . . 10 |- (E.uE.f(x = <.w, v>. /\ (y = <.u, f>. /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.)) <-> (x = <.w, v>. /\ E.uE.f(y = <.u, f>. /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.)))
9	7, 8	bitr 173	. . . . . . . . 9 |- (E.uE.f((x = <.w, v>. /\ y = <.u, f>.) /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.) <-> (x = <.w, v>. /\ E.uE.f(y = <.u, f>. /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.)))
10	9	2exbii 1054	. . . . . . . 8 |- (E.wE.vE.uE.f((x = <.w, v>. /\ y = <.u, f>.) /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.) <-> E.wE.v(x = <.w, v>. /\ E.uE.f(y = <.u, f>. /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.)))
11	10	mobii 1407	. . . . . . 7 |- (E*zE.wE.vE.uE.f((x = <.w, v>. /\ y = <.u, f>.) /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.) <-> E*zE.wE.v(x = <.w, v>. /\ E.uE.f(y = <.u, f>. /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.)))
12	5, 11	mpbir 190	. . . . . 6 |- E*zE.wE.vE.uE.f((x = <.w, v>. /\ y = <.u, f>.) /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.)
13	12	moani 1425	. . . . 5 |- E*z((x e. CC /\ y e. CC) /\ E.wE.vE.uE.f((x = <.w, v>. /\ y = <.u, f>.) /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.))
14	13	funoprab 4017	. . . 4 |- Fun {<.<.x, y>., z>. | ((x e. CC /\ y e. CC) /\ E.wE.vE.uE.f((x = <.w, v>. /\ y = <.u, f>.) /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.))}
15		df-plus 5257	. . . . 5 |- + = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. CC /\ y e. CC) /\ E.wE.vE.uE.f((x = <.w, v>. /\ y = <.u, f>.) /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.))}
16		funeq 3541	. . . . 5 |- ( + = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. CC /\ y e. CC) /\ E.wE.vE.uE.f((x = <.w, v>. /\ y = <.u, f>.) /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.))} -> (Fun + <-> Fun {<.<.x, y>., z>. | ((x e. CC /\ y e. CC) /\ E.wE.vE.uE.f((x = <.w, v>. /\ y = <.u, f>.) /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.))}))
17	15, 16	ax-mp 7	. . . 4 |- (Fun + <-> Fun {<.<.x, y>., z>. | ((x e. CC /\ y e. CC) /\ E.wE.vE.uE.f((x = <.w, v>. /\ y = <.u, f>.) /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.))})
18	14, 17	mpbir 190	. . 3 |- Fun +
19	15	dmeqi 3318	. . . . 5 |- dom + = dom {<.<.x, y>., z>. | ((x e. CC /\ y e. CC) /\ E.wE.vE.uE.f((x = <.w, v>. /\ y = <.u, f>.) /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.))}
20		dmoprabss 4009	. . . . 5 |- dom {<.<.x, y>., z>. | ((x e. CC /\ y e. CC) /\ E.wE.vE.uE.f((x = <.w, v>. /\ y = <.u, f>.) /\ z = <.(w +R u), (v +R f)>.))} (_ (CC X. CC)
21	19, 20	eqsstr 2094	. . . 4 |- dom + (_ (CC X. CC)
22		0ncn 5263	. . . . 5 |- -. (/) e. CC
23		df-c 5252	. . . . . . 7 |- CC = (R. X. R.)
24		opreq1 3974	. . . . . . . 8 |- (<.z, w>. = x -> (<.z, w>. + <.v, u>.) = (x + <.v, u>.))
25	24	eleq1d 1543	. . . . . . 7 |- (<.z, w>. = x -> ((<.z, w>. + <.v, u>.) e. (R. X. R.) <-> (x + <.v, u>.) e. (R. X. R.)))
26		opreq2 3975	. . . . . . . 8 |- (<.v, u>. = y -> (x + <.v, u>.) = (x + y))
27	26	eleq1d 1543	. . . . . . 7 |- (<.v, u>. = y -> ((x + <.v, u>.) e. (R. X. R.) <-> (x + y) e. (R. X. R.)))
28		addcnsr 5265	. . . . . . . 8 |- (((z e. R. /\ w e. R.) /\ (v e. R. /\ u e. R.)) -> (<.z, w>. + <.v, u>.) = <.(z +R v), (w +R u)>.)
29		addclsr 5204	. . . . . . . . . . 11 |- ((z e. R. /\ v e. R.) -> (z +R v) e. R.)
30		addclsr 5204	. . . . . . . . . . 11 |- ((w e. R. /\ u e. R.) -> (w +R u) e. R.)
31	29, 30	anim12i 333	. . . . . . . . . 10 |- (((z e. R. /\ v e. R.) /\ (w e. R. /\ u e. R.)) -> ((z +R v) e. R. /\ (w +R u) e. R.))
32	31	an4s 510	. . . . . . . . 9 |- (((z e. R. /\ w e. R.) /\ (v e. R. /\ u e. R.)) -> ((z +R v) e. R. /\ (w +R u) e. R.))
33		opelxpi 3223	. . . . . . . . 9 |- (((z +R v) e. R. /\ (w +R u) e. R.) -> <.(z +R v), (w +R u)>. e. (R. X. R.))
34	32, 33	syl 10	. . . . . . . 8 |- (((z e. R. /\ w e. R.) /\ (v e. R. /\ u e. R.)) -> <.(z +R v), (w +R u)>. e. (R. X. R.))
35	28, 34	eqeltrd 1551	. . . . . . 7 |- (((z e. R. /\ w e. R.) /\ (v e. R. /\ u e. R.)) -> (<.z, w>. + <.v, u>.) e. (R. X. R.))
36	23, 25, 27, 35	2optocl 3242	. . . . . 6 |- ((x e. CC /\ y e. CC) -> (x + y) e. (R. X. R.))
37	36, 23	syl6eleqr 1562	. . . . 5 |- ((x e. CC /\ y e. CC) -> (x + y) e. CC)
38	22, 37	oprssdm 4048	. . . 4 |- (CC X. CC) (_ dom +
39	21, 38	eqssi 2081	. . 3 |- dom + = (CC X. CC)
40	2, 18, 39	mpbir2an 732	. 2 |- + Fn (CC X. CC)
41	37	rgen2a 1702	. 2 |- A.x e. CC A.y e. CC (x + y) e. CC
42	1, 40, 41	mpbir2an 732	1 |- + :(CC X. CC)-->CC

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982  E*wmo 1383  A.wral 1648  <.cop 2415   X. cxp 3174  dom cdm 3176  Fun wfun 3182   Fn wfn 3183  -->wf 3184  (class class class)co 3969  {copab2 3970  R.cnr 5005   +R cplr 5009  CCcc 5244   + caddc 5249

This theorem is referenced by:  axaddcl 5283  addex 5329  ser1ft 6329  ser1cl1 6331  serzcl1 6563  addcn 7983  cnaddabl 8122  cnid 8123  addinv 8124  readdsubg 8125  zaddsubg 8126  cnring 8158  cnvc 8198  cnnv 8303  cnnvba 8305  cnph 8474  efghgrpilem 8714

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190