Theorem axacndlem5 4943

Description: Lemma for the Axiom of Choice with no distinct variable conditions.

Assertion

Ref	Expression
axacndlem5	|- E.xA.yA.z(A.x(y e. z /\ z e. w) -> E.wA.y(E.w((y e. z /\ z e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) <-> y = w))

Distinct variable group:   z,w

Proof of Theorem axacndlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axacndlem4 4942	. . . 4 |- E.xA.vA.z(A.x(v e. z /\ z e. w) -> E.wA.v(E.w((v e. z /\ z e. w) /\ (v e. w /\ w e. x)) <-> v = w))
2		hbnae 1145	. . . . . 6 |- (-. A.y y = z -> A.x -. A.y y = z)
3		hbnae 1145	. . . . . . 7 |- (-. A.y y = x -> A.x -. A.y y = x)
4		hbnae 1145	. . . . . . 7 |- (-. A.y y = w -> A.x -. A.y y = w)
5	3, 4	hban 1007	. . . . . 6 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = w) -> A.x(-. A.y y = x /\ -. A.y y = w))
6	2, 5	hban 1007	. . . . 5 |- ((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) -> A.x(-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)))
7		hbnae 1145	. . . . . . 7 |- (-. A.y y = z -> A.y -. A.y y = z)
8		hbnae 1145	. . . . . . . 8 |- (-. A.y y = x -> A.y -. A.y y = x)
9		hbnae 1145	. . . . . . . 8 |- (-. A.y y = w -> A.y -. A.y y = w)
10	8, 9	hban 1007	. . . . . . 7 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = w) -> A.y(-. A.y y = x /\ -. A.y y = w))
11	7, 10	hban 1007	. . . . . 6 |- ((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) -> A.y(-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)))
12		hbnae 1145	. . . . . . . 8 |- (-. A.y y = z -> A.z -. A.y y = z)
13		hbnae 1145	. . . . . . . . 9 |- (-. A.y y = x -> A.z -. A.y y = x)
14		hbnae 1145	. . . . . . . . 9 |- (-. A.y y = w -> A.z -. A.y y = w)
15	13, 14	hban 1007	. . . . . . . 8 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = w) -> A.z(-. A.y y = x /\ -. A.y y = w))
16	12, 15	hban 1007	. . . . . . 7 |- ((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) -> A.z(-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)))
17		dveel2 1355	. . . . . . . . . . 11 |- (-. A.y y = z -> (v e. z -> A.y v e. z))
18	17	adantr 389	. . . . . . . . . 10 |- ((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) -> (v e. z -> A.y v e. z))
19		ax-15 1358	. . . . . . . . . . . 12 |- (-. A.y y = z -> (-. A.y y = w -> (z e. w -> A.y z e. w)))
20	19	imp 350	. . . . . . . . . . 11 |- ((-. A.y y = z /\ -. A.y y = w) -> (z e. w -> A.y z e. w))
21	20	adantrl 394	. . . . . . . . . 10 |- ((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) -> (z e. w -> A.y z e. w))
22	18, 21	hband 1109	. . . . . . . . 9 |- ((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) -> ((v e. z /\ z e. w) -> A.y(v e. z /\ z e. w)))
23	6, 22	hbald 1111	. . . . . . . 8 |- ((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) -> (A.x(v e. z /\ z e. w) -> A.yA.x(v e. z /\ z e. w)))
24		hbnae 1145	. . . . . . . . . 10 |- (-. A.y y = z -> A.w -. A.y y = z)
25		hbnae 1145	. . . . . . . . . . 11 |- (-. A.y y = x -> A.w -. A.y y = x)
26		hbnae 1145	. . . . . . . . . . 11 |- (-. A.y y = w -> A.w -. A.y y = w)
27	25, 26	hban 1007	. . . . . . . . . 10 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = w) -> A.w(-. A.y y = x /\ -. A.y y = w))
28	24, 27	hban 1007	. . . . . . . . 9 |- ((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) -> A.w(-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)))
29		ax-17 969	. . . . . . . . . 10 |- ((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) -> A.v(-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)))
30		dveel2 1355	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (-. A.y y = w -> (v e. w -> A.y v e. w))
31	30	ad2antll 407	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) -> (v e. w -> A.y v e. w))
32		ax-15 1358	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (-. A.y y = w -> (-. A.y y = x -> (w e. x -> A.y w e. x)))
33	32	impcom 351	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = w) -> (w e. x -> A.y w e. x))
34	33	adantl 388	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) -> (w e. x -> A.y w e. x))
35	31, 34	hband 1109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) -> ((v e. w /\ w e. x) -> A.y(v e. w /\ w e. x)))
36	22, 35	hband 1109	. . . . . . . . . . . 12 |- ((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) -> (((v e. z /\ z e. w) /\ (v e. w /\ w e. x)) -> A.y((v e. z /\ z e. w) /\ (v e. w /\ w e. x))))
37	28, 36	hbexd 1112	. . . . . . . . . . 11 |- ((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) -> (E.w((v e. z /\ z e. w) /\ (v e. w /\ w e. x)) -> A.yE.w((v e. z /\ z e. w) /\ (v e. w /\ w e. x))))
38		dveeq2 1210	. . . . . . . . . . . 12 |- (-. A.y y = w -> (v = w -> A.y v = w))
39	38	ad2antll 407	. . . . . . . . . . 11 |- ((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) -> (v = w -> A.y v = w))
40	11, 37, 39	hbbid 1110	. . . . . . . . . 10 |- ((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) -> ((E.w((v e. z /\ z e. w) /\ (v e. w /\ w e. x)) <-> v = w) -> A.y(E.w((v e. z /\ z e. w) /\ (v e. w /\ w e. x)) <-> v = w)))
41	29, 40	hbald 1111	. . . . . . . . 9 |- ((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) -> (A.v(E.w((v e. z /\ z e. w) /\ (v e. w /\ w e. x)) <-> v = w) -> A.yA.v(E.w((v e. z /\ z e. w) /\ (v e. w /\ w e. x)) <-> v = w)))
42	28, 41	hbexd 1112	. . . . . . . 8 |- ((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) -> (E.wA.v(E.w((v e. z /\ z e. w) /\ (v e. w /\ w e. x)) <-> v = w) -> A.yE.wA.v(E.w((v e. z /\ z e. w) /\ (v e. w /\ w e. x)) <-> v = w)))
43	11, 23, 42	hbimd 1108	. . . . . . 7 |- ((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) -> ((A.x(v e. z /\ z e. w) -> E.wA.v(E.w((v e. z /\ z e. w) /\ (v e. w /\ w e. x)) <-> v = w)) -> A.y(A.x(v e. z /\ z e. w) -> E.wA.v(E.w((v e. z /\ z e. w) /\ (v e. w /\ w e. x)) <-> v = w))))
44	16, 43	hbald 1111	. . . . . 6 |- ((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) -> (A.z(A.x(v e. z /\ z e. w) -> E.wA.v(E.w((v e. z /\ z e. w) /\ (v e. w /\ w e. x)) <-> v = w)) -> A.yA.z(A.x(v e. z /\ z e. w) -> E.wA.v(E.w((v e. z /\ z e. w) /\ (v e. w /\ w e. x)) <-> v = w))))
45		nd5 4922	. . . . . . . . . 10 |- (-. A.y y = z -> (v = y -> A.z v = y))
46	45	adantr 389	. . . . . . . . 9 |- ((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) -> (v = y -> A.z v = y))
47	46	imdistani 443	. . . . . . . 8 |- (((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x