Theorem atord 10311

Description: An ordering law for a Hilbert lattice atom and a commuting subspace.

Hypothesis

Ref	Expression
atoml.1	|- A e. CH

Assertion

Ref	Expression
atord	|- ((B e. Atoms /\ A C_H B) -> (B (_ A \/ B (_ (_|_` A)))

Proof of Theorem atord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atoml.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- A e. CH
2	1	choccl 9185	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (_|_` A) e. CH
3		chinclt 9422	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((_|_` A) e. CH /\ B e. CH) -> ((_|_` A) i^i B) e. CH)
4	2, 3	mpan 695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (B e. CH -> ((_|_` A) i^i B) e. CH)
5		chj0t 9420	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((_|_` A) i^i B) e. CH -> (((_|_` A) i^i B) vH 0H) = ((_|_` A) i^i B))
6	4, 5	syl 10	. . . . . . . . . . . . 13 |- (B e. CH -> (((_|_` A) i^i B) vH 0H) = ((_|_` A) i^i B))
7		incom 2208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((_|_` A) i^i B) = (B i^i (_|_` A))
8	6, 7	syl6eq 1523	. . . . . . . . . . . 12 |- (B e. CH -> (((_|_` A) i^i B) vH 0H) = (B i^i (_|_` A)))
9		h0elch 9127	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0H e. CH
10		chjcomt 9429	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((_|_` A) i^i B) e. CH /\ 0H e. CH) -> (((_|_` A) i^i B) vH 0H) = (0H vH ((_|_` A) i^i B)))
11	9, 10	mpan2 696	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((_|_` A) i^i B) e. CH -> (((_|_` A) i^i B) vH 0H) = (0H vH ((_|_` A) i^i B)))
12	4, 11	syl 10	. . . . . . . . . . . 12 |- (B e. CH -> (((_|_` A) i^i B) vH 0H) = (0H vH ((_|_` A) i^i B)))
13	8, 12	eqtr3d 1509	. . . . . . . . . . 11 |- (B e. CH -> (B i^i (_|_` A)) = (0H vH ((_|_` A) i^i B)))
14		incom 2208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((_|_` A) i^i A) = (A i^i (_|_` A))
15	1	chocin 9377	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A i^i (_|_` A)) = 0H
16	14, 15	eqtr 1495	. . . . . . . . . . . 12 |- ((_|_` A) i^i A) = 0H
17	16	opreq1i 3971	. . . . . . . . . . 11 |- (((_|_` A) i^i A) vH ((_|_` A) i^i B)) = (0H vH ((_|_` A) i^i B))
18	13, 17	syl6eqr 1525	. . . . . . . . . 10 |- (B e. CH -> (B i^i (_|_` A)) = (((_|_` A) i^i A) vH ((_|_` A) i^i B)))
19	18	adantr 389	. . . . . . . . 9 |- ((B e. CH /\ A C_H B) -> (B i^i (_|_` A)) = (((_|_` A) i^i A) vH ((_|_` A) i^i B)))
20	1	cmid 9553	. . . . . . . . . . . . 13 |- A C_H A
21	1, 1, 20	cmcm2i 9541	. . . . . . . . . . . 12 |- A C_H (_|_` A)
22		fh2t 9562	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((_|_` A) e. CH /\ A e. CH /\ B e. CH) /\ (A C_H (_|_` A) /\ A C_H B)) -> ((_|_` A) i^i (A vH B)) = (((_|_` A) i^i A) vH ((_|_` A) i^i B)))
23	21, 22	mpanr1 709	. . . . . . . . . . 11 |- ((((_|_` A) e. CH /\ A e. CH /\ B e. CH) /\ A C_H B) -> ((_|_` A) i^i (A vH B)) = (((_|_` A) i^i A) vH ((_|_` A) i^i B)))
24	1, 23	mp3anl2 911	. . . . . . . . . 10 |- ((((_|_` A) e. CH /\ B e. CH) /\ A C_H B) -> ((_|_` A) i^i (A vH B)) = (((_|_` A) i^i A) vH ((_|_` A) i^i B)))
25	2, 24	mpanl1 706	. . . . . . . . 9 |- ((B e. CH /\ A C_H B) -> ((_|_` A) i^i (A vH B)) = (((_|_` A) i^i A) vH ((_|_` A) i^i B)))
26	19, 25	eqtr4d 1510	. . . . . . . 8 |- ((B e. CH /\ A C_H B) -> (B i^i (_|_` A)) = ((_|_` A) i^i (A vH B)))
27		atelch 10271	. . . . . . . 8 |- (B e. Atoms -> B e. CH)
28	26, 27	sylan 448	. . . . . . 7 |- ((B e. Atoms /\ A C_H B) -> (B i^i (_|_` A)) = ((_|_` A) i^i (A vH B)))
29		incom 2208	. . . . . . 7 |- ((_|_` A) i^i (A vH B)) = ((A vH B) i^i (_|_` A))
30	28, 29	syl6eq 1523	. . . . . 6 |- ((B e. Atoms /\ A C_H B) -> (B i^i (_|_` A)) = ((A vH B) i^i (_|_` A)))
31	30	adantr 389	. . . . 5 |- (((B e. Atoms /\ A C_H B) /\ -. B (_ A) -> (B i^i (_|_` A)) = ((A vH B) i^i (_|_` A)))
32	1	atoml2 10310	. . . . . 6 |- ((B e. Atoms /\ -. B (_ A) -> ((A vH B) i^i (_|_` A)) e. Atoms)
33	32	adantlr 393	. . . . 5 |- (((B e. Atoms /\ A C_H B) /\ -. B (_ A) -> ((A vH B) i^i (_|_` A)) e. Atoms)
34	31, 33	eqeltrd 1548	. . . 4 |- (((B e. Atoms /\ A C_H B) /\ -. B (_ A) -> (B i^i (_|_` A)) e. Atoms)
35		atssmat 10305	. . . . . 6 |- ((B e. Atoms /\ (_|_` A) e. CH) -> (B (_ (_|_` A) <-> (B i^i (_|_` A)) e. Atoms))
36	2, 35	mpan2 696	. . . . 5 |- (B e. Atoms -> (B (_ (_|_` A) <-> (B i^i (_|_` A)) e. Atoms))
37	36	ad2antrr 404	. . . 4 |- (((B e. Atoms /\ A C_H B) /\ -. B (_ A) -> (B (_ (_|_` A) <-> (B i^i (_|_` A)) e. Atoms))
38	34, 37	mpbird 196	. . 3 |- (((B e. Atoms /\ A C_H B) /\ -. B (_ A) -> B (_ (_|_` A))
39	38	ex 373	. 2 |- ((B e. Atoms /\ A C_H B) -> (-. B (_ A -> B (_ (_|_` A)))
40	39	orrd 233	1 |- ((B e. Atoms /\ A C_H B) -> (B (_ A \/ B (_ (_|_` A)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958   i^i cin 2046   (_ wss 2047   class class class wbr 2619  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CHcch 8798  _|_cort 8799   vH chj 8802  0Hc0h 8804   C_H ccm 8805  Atomscat 8833

This theorem is referenced by:  atordt 10315  irredlem4 10320

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-reg 4593  ax-inf2 4625  ax-ac 4744  ax-hilex 8869  ax-hfvadd 8870  ax-hvcom 8871  ax-hvass 8872  ax-hv0cl 8873  ax-hvaddid 8874  ax-hfvmul 8875  ax-hvmulid 8876  ax-hvmulass 8877  ax-hvdistr1 8878  ax-hvdistr2 8879  ax-hvmul0 8880  ax-hfi 8946  ax-his1 8949  ax-his2 8950  ax-his3 8951  ax-his4 8952  ax-hcompl 9071

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-iin 2569  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-map 4324  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-r1 4643  df-rank 4644  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-3 5971  df-4 5972  df-n0 6100  df-z 6136  df-fl 6224  df-q 6256  df-seq1 6308  df-shft 6341  df-ioo 6361  df-uz 6418  df-fz 6468  df-seqz 6533  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-clim 6975  df-sum 6980  df-top 7592  df-bases 7594  df-topgen 7595  df-cld 7663  df-ntr 7664  df-cls 7665  df-cn 7754  df-cnp 7755  df-haus 7782  df-met 7793  df-bl 7795  df-opn 7796  df-lm 7922  df-grp 8037  df-gid 8038  df-ginv 8039  df-gdiv 8040  df-abl 8100  df-vc 8165  df-nv 8211  df-va 8214  df-ba 8215  df-sm 8216  df-0v 8217  df-vs 8218  df-nm 8219  df-ims 8220  df-ip 8350  df-ph 8472  df-hnorm 8837  df-hvsub 8840  df-hlim 8841  df-hcau 8842  df-sh 9076  df-ch 9092  df-oc 9124  df-ch0 9125  df-pj 9237  df-shsum 9273  df-span 9274  df-chj 9275  df-chsup 9276  df-cm 9526  df-cv 10206  df-at 10265

Copyright terms: Public domain