Theorem alephprc 4893

Description: The class of all transfinite cardinal numbers (the range of the aleph function) is a proper class. Proposition 10.26 of [TakeutiZaring] p. 90.

Assertion

Ref	Expression
alephprc	|- -. ran aleph e. V

Proof of Theorem alephprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardprc 4861	. . 3 |- -. {x | (card` x) = x} e. V
2		cardnum 4889	. . . 4 |- {x | (card` x) = x} = (om u. ran aleph)
3	2	eleq1i 1537	. . 3 |- ({x | (card` x) = x} e. V <-> (om u. ran aleph) e. V)
4	1, 3	mtbi 191	. 2 |- -. (om u. ran aleph) e. V
5		omex 4627	. . 3 |- om e. V
6		unexg 2874	. . 3 |- ((om e. V /\ ran aleph e. V) -> (om u. ran aleph) e. V)
7	5, 6	mpan 695	. 2 |- (ran aleph e. V -> (om u. ran aleph) e. V)
8	4, 7	mto 106	1 |- -. ran aleph e. V

Syntax hints:  -. wn 2   = wceq 956   e. wcel 958  {cab 1463  Vcvv 1811   u. cun 2045  omcom 3131  ran crn 3171  ` cfv 3182  cardccrd 4813  alephcale 4814

This theorem is referenced by:  unialeph 4895

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-reg 4593  ax-inf2 4625  ax-ac 4744

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-er 4261  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-card 4816  df-aleph 4817

Copyright terms: Public domain