Theorem alephfplem2 4897

Description: Lemma for alephfp 4900.

Hypothesis

Ref	Expression
alephfplem.1	|- H = (rec({<.x, y>. | y = (aleph` x)}, (aleph` (/))) |` om)

Assertion

Ref	Expression
alephfplem2	|- (w e. om -> (H` suc w) = (aleph` (H` w)))

Distinct variable groups:   x,y,w   w,H

Proof of Theorem alephfplem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 3732	. 2 |- (aleph` (H` w)) e. V
2		ax-17 971	. . 3 |- (z e. (aleph` (/)) -> A.x z e. (aleph` (/)))
3		ax-17 971	. . 3 |- (z e. w -> A.x z e. w)
4		ax-17 971	. . . 4 |- (z e. aleph -> A.x z e. aleph)
5		alephfplem.1	. . . . . 6 |- H = (rec({<.x, y>. | y = (aleph` x)}, (aleph` (/))) |` om)
6		hbopab1 2813	. . . . . . . 8 |- (z e. {<.x, y>. | y = (aleph` x)} -> A.x z e. {<.x, y>. | y = (aleph` x)})
7	6, 2	hbrdg 3936	. . . . . . 7 |- (z e. rec({<.x, y>. | y = (aleph` x)}, (aleph` (/))) -> A.x z e. rec({<.x, y>. | y = (aleph` x)}, (aleph` (/))))
8		ax-17 971	. . . . . . 7 |- (z e. om -> A.x z e. om)
9	7, 8	hbres 3370	. . . . . 6 |- (z e. (rec({<.x, y>. | y = (aleph` x)}, (aleph` (/))) |` om) -> A.x z e. (rec({<.x, y>. | y = (aleph` x)}, (aleph` (/))) |` om))
10	5, 9	hbxfr 1563	. . . . 5 |- (z e. H -> A.x z e. H)
11	10, 3	hbfv 3729	. . . 4 |- (z e. (H` w) -> A.x z e. (H` w))
12	4, 11	hbfv 3729	. . 3 |- (z e. (aleph` (H` w)) -> A.x z e. (aleph` (H` w)))
13		fveq2 3724	. . 3 |- (x = (H` w) -> (aleph` x) = (aleph` (H` w)))
14	2, 3, 12, 5, 13	frsucopab 3954	. 2 |- ((w e. om /\ (aleph` (H` w)) e. V) -> (H` suc w) = (aleph` (H` w)))
15	1, 14	mpan2 696	1 |- (w e. om -> (H` suc w) = (aleph` (H` w)))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 956   e. wcel 958  Vcvv 1811  (/)c0 2280  {copab 2666  suc csuc 2950  omcom 3131   |` cres 3172  ` cfv 3182  reccrdg 3931  alephcale 4814

This theorem is referenced by:  alephfplem3 4898  alephfp 4900

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198  df-rdg 3932

Copyright terms: Public domain