Theorem alephexp1 7584

Description: An exponentiation law for alephs. Lemma 6.1 of [Jech] p. 42.

Assertion

Ref	Expression
alephexp1	|- (((A e. On /\ B e. On) /\ A (_ B) -> ((aleph` A) ^m (aleph` B)) ~~ (2o ^m (aleph` B)))

Proof of Theorem alephexp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 3732	. . 3 |- (aleph` A) e. V
2		fvex 3732	. . 3 |- (aleph` B) e. V
3	1, 2	infmap1 7573	. 2 |- (((2o ~<_ (aleph` A) /\ om ~<_ (aleph` B)) /\ (aleph` A) ~<_ (aleph` B)) -> ((aleph` A) ^m (aleph` B)) ~~ (2o ^m (aleph` B)))
4		alephgeom 4882	. . . . . 6 |- (A e. On <-> om (_ (aleph` A))
5		ssdom2g 4409	. . . . . . 7 |- ((aleph` A) e. V -> (om (_ (aleph` A) -> om ~<_ (aleph` A)))
6	1, 5	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (om (_ (aleph` A) -> om ~<_ (aleph` A))
7	4, 6	sylbi 199	. . . . 5 |- (A e. On -> om ~<_ (aleph` A))
8		2onn 4254	. . . . . . . 8 |- 2o e. om
9		nnsdom 4635	. . . . . . . 8 |- (2o e. om -> 2o ~< om)
10	8, 9	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- 2o ~< om
11		sdomdom 4386	. . . . . . 7 |- (2o ~< om -> 2o ~<_ om)
12	10, 11	ax-mp 7	. . . . . 6 |- 2o ~<_ om
13		domtr 4415	. . . . . 6 |- ((2o ~<_ om /\ om ~<_ (aleph` A)) -> 2o ~<_ (aleph` A))
14	12, 13	mpan 695	. . . . 5 |- (om ~<_ (aleph` A) -> 2o ~<_ (aleph` A))
15	7, 14	syl 10	. . . 4 |- (A e. On -> 2o ~<_ (aleph` A))
16		alephgeom 4882	. . . . 5 |- (B e. On <-> om (_ (aleph` B))
17		ssdom2g 4409	. . . . . 6 |- ((aleph` B) e. V -> (om (_ (aleph` B) -> om ~<_ (aleph` B)))
18	2, 17	ax-mp 7	. . . . 5 |- (om (_ (aleph` B) -> om ~<_ (aleph` B))
19	16, 18	sylbi 199	. . . 4 |- (B e. On -> om ~<_ (aleph` B))
20	15, 19	anim12i 333	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (2o ~<_ (aleph` A) /\ om ~<_ (aleph` B)))
21	20	adantr 389	. 2 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ A (_ B) -> (2o ~<_ (aleph` A) /\ om ~<_ (aleph` B)))
22		alephord3 4878	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A (_ B <-> (aleph` A) (_ (aleph` B)))
23		ssdomg 4408	. . . . 5 |- ((aleph` A) e. V -> ((aleph` A) (_ (aleph` B) -> (aleph` A) ~<_ (aleph` B)))
24	1, 23	ax-mp 7	. . . 4 |- ((aleph` A) (_ (aleph` B) -> (aleph` A) ~<_ (aleph` B))
25	22, 24	syl6bi 214	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A (_ B -> (aleph` A) ~<_ (aleph` B)))
26	25	imp 350	. 2 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ A (_ B) -> (aleph` A) ~<_ (aleph` B))
27	3, 21, 26	sylanc 471	1 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ A (_ B) -> ((aleph` A) ^m (aleph` B)) ~~ (2o ^m (aleph` B)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 958  Vcvv 1811   (_ wss 2047   class class class wbr 2619  Oncon0 2948  omcom 3131  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  2oc2o 4129   ^m cm 4322   ~~ cen 4364   ~<_ cdom 4365   ~< csdm 4366  alephcale 4814

This theorem is referenced by:  alephexp2 7586

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-reg 4593  ax-inf2 4625  ax-ac 4744

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-iso 3199  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-2o 4134  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-map 4324  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-card 4816  df-aleph 4817  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-exp 6569

Copyright terms: Public domain