Theorem alephadd 7582

Description: The sum of two alephs is their maximum. Equation 6.1 of [Jech] p. 42.

Assertion

Ref	Expression
alephadd	|- ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B))

Proof of Theorem alephadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 2711	. . . . . . . 8 |- (/) e. V
2	1, 1	cdaval 4920	. . . . . . 7 |- ((/) +c (/)) = (((/) X. {(/)}) u. ((/) X. {1o}))
3		xpundi 3225	. . . . . . 7 |- ((/) X. ({(/)} u. {1o})) = (((/) X. {(/)}) u. ((/) X. {1o}))
4		xp0r 3239	. . . . . . 7 |- ((/) X. ({(/)} u. {1o})) = (/)
5	2, 3, 4	3eqtr2 1501	. . . . . 6 |- ((/) +c (/)) = (/)
6		ndmfv 3745	. . . . . . 7 |- (-. A e. dom aleph -> (aleph` A) = (/))
7		ndmfv 3745	. . . . . . 7 |- (-. B e. dom aleph -> (aleph` B) = (/))
8	6, 7	opreqan12d 3979	. . . . . 6 |- ((-. A e. dom aleph /\ -. B e. dom aleph) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) = ((/) +c (/)))
9	6	adantr 389	. . . . . . . 8 |- ((-. A e. dom aleph /\ -. B e. dom aleph) -> (aleph` A) = (/))
10	7	adantl 388	. . . . . . . 8 |- ((-. A e. dom aleph /\ -. B e. dom aleph) -> (aleph` B) = (/))
11	9, 10	uneq12d 2185	. . . . . . 7 |- ((-. A e. dom aleph /\ -. B e. dom aleph) -> ((aleph` A) u. (aleph` B)) = ((/) u. (/)))
12		un0 2297	. . . . . . 7 |- ((/) u. (/)) = (/)
13	11, 12	syl6eq 1523	. . . . . 6 |- ((-. A e. dom aleph /\ -. B e. dom aleph) -> ((aleph` A) u. (aleph` B)) = (/))
14	5, 8, 13	3eqtr4a 1532	. . . . 5 |- ((-. A e. dom aleph /\ -. B e. dom aleph) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) = ((aleph` A) u. (aleph` B)))
15		alephfnon 4862	. . . . . . . 8 |- aleph Fn On
16		fndm 3587	. . . . . . . 8 |- (aleph Fn On -> dom aleph = On)
17	15, 16	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- dom aleph = On
18	17	eleq2i 1538	. . . . . 6 |- (A e. dom aleph <-> A e. On)
19	18	negbii 187	. . . . 5 |- (-. A e. dom aleph <-> -. A e. On)
20	17	eleq2i 1538	. . . . . 6 |- (B e. dom aleph <-> B e. On)
21	20	negbii 187	. . . . 5 |- (-. B e. dom aleph <-> -. B e. On)
22	14, 19, 21	syl2anbr 456	. . . 4 |- ((-. A e. On /\ -. B e. On) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) = ((aleph` A) u. (aleph` B)))
23		oprex 3983	. . . . 5 |- ((aleph` A) +c (aleph` B)) e. V
24		eqeng 4392	. . . . 5 |- (((aleph` A) +c (aleph` B)) e. V -> (((aleph` A) +c (aleph` B)) = ((aleph` A) u. (aleph` B)) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B))))
25	23, 24	ax-mp 7	. . . 4 |- (((aleph` A) +c (aleph` B)) = ((aleph` A) u. (aleph` B)) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B)))
26	22, 25	syl 10	. . 3 |- ((-. A e. On /\ -. B e. On) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B)))
27	26	ex 373	. 2 |- (-. A e. On -> (-. B e. On -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B))))
28		alephgeom 4882	. . 3 |- (A e. On <-> om (_ (aleph` A))
29		fvex 3732	. . . . 5 |- (aleph` A) e. V
30		ssdom2g 4409	. . . . 5 |- ((aleph` A) e. V -> (om (_ (aleph` A) -> om ~<_ (aleph` A)))
31	29, 30	ax-mp 7	. . . 4 |- (om (_ (aleph` A) -> om ~<_ (aleph` A))
32		fvex 3732	. . . . 5 |- (aleph` B) e. V
33	29, 32	infcda 7567	. . . 4 |- (om ~<_ (aleph` A) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B)))
34	31, 33	syl 10	. . 3 |- (om (_ (aleph` A) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B)))
35	28, 34	sylbi 199	. 2 |- (A e. On -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B)))
36		alephgeom 4882	. . 3 |- (B e. On <-> om (_ (aleph` B))
37		ssdom2g 4409	. . . . 5 |- ((aleph` B) e. V -> (om (_ (aleph` B) -> om ~<_ (aleph` B)))
38	32, 37	ax-mp 7	. . . 4 |- (om (_ (aleph` B) -> om ~<_ (aleph` B))
39	32, 29	infcda 7567	. . . . . 6 |- (om ~<_ (aleph` B) -> ((aleph` B) +c (aleph` A)) ~~ ((aleph` B) u. (aleph` A)))
40	29, 32	cdacomen 4929	. . . . . . 7 |- ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` B) +c (aleph` A))
41		entrt 4414	. . . . . . 7 |- ((((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` B) +c (aleph` A)) /\ ((aleph` B) +c (aleph` A)) ~~ ((aleph` B) u. (aleph` A))) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` B) u. (aleph` A)))
42	40, 41	mpan 695	. . . . . 6 |- (((aleph` B) +c (aleph` A)) ~~ ((aleph` B) u. (aleph` A)) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` B) u. (aleph` A)))
43	39, 42	syl 10	. . . . 5 |- (om ~<_ (aleph` B) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` B) u. (aleph` A)))
44		uncom 2176	. . . . 5 |- ((aleph` B) u. (aleph` A)) = ((aleph` A) u. (aleph` B))
45	43, 44	syl6breq 2654	. . . 4 |- (om ~<_ (aleph` B) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B)))
46	38, 45	syl 10	. . 3 |- (om (_ (aleph` B) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B)))
47	36, 46	sylbi 199	. 2 |- (B e. On -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B)))
48	27, 35, 47	pm2.61ii 130	1 |- ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  Vcvv 1811   u. cun 2045   (_ wss 2047  (/)c0 2280  {csn 2409   class class class wbr 2619  Oncon0 2948  omcom 3131   X. cxp 3168  dom cdm 3170   Fn wfn 3177  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  1oc1o 4128   ~~ cen 4364   ~<_ cdom 4365  alephcale 4814   +c ccda 4917

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-reg 4593  ax-inf2 4625  ax-ac 4744

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-iso 3199  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-2o 4134  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-card 4816  df-aleph 4817  df-cda 4918  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-exp 6569

Copyright terms: Public domain