Theorem adjvalvalt 9777

Description: Value of the value of the adjoint function.

Assertion

Ref	Expression
adjvalvalt	|- ((T e. dom adjh /\ A e. H~) -> ((adjh` T)` A) = U.{w e. H~ | A.x e. H~ ((T` x) .ih A) = (x .ih w)})

Distinct variable groups:   x,w,A   x,T,w

Proof of Theorem adjvalvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		adj2t 9774	. . . . . 6 |- ((T e. dom adjh /\ x e. H~ /\ A e. H~) -> ((T` x) .ih A) = (x .ih ((adjh` T)` A)))
2	1	3com23 837	. . . . 5 |- ((T e. dom adjh /\ A e. H~ /\ x e. H~) -> ((T` x) .ih A) = (x .ih ((adjh` T)` A)))
3	2	3expa 831	. . . 4 |- (((T e. dom adjh /\ A e. H~) /\ x e. H~) -> ((T` x) .ih A) = (x .ih ((adjh` T)` A)))
4	3	r19.21aiva 1706	. . 3 |- ((T e. dom adjh /\ A e. H~) -> A.x e. H~ ((T` x) .ih A) = (x .ih ((adjh` T)` A)))
5		opreq2 3954	. . . . . . 7 |- (w = ((adjh` T)` A) -> (x .ih w) = (x .ih ((adjh` T)` A)))
6	5	eqeq2d 1478	. . . . . 6 |- (w = ((adjh` T)` A) -> (((T` x) .ih A) = (x .ih w) <-> ((T` x) .ih A) = (x .ih ((adjh` T)` A))))
7	6	ralbidv 1655	. . . . 5 |- (w = ((adjh` T)` A) -> (A.x e. H~ ((T` x) .ih A) = (x .ih w) <-> A.x e. H~ ((T` x) .ih A) = (x .ih ((adjh` T)` A))))
8	7	reuuni2 2874	. . . 4 |- ((((adjh` T)` A) e. H~ /\ E!w e. H~ A.x e. H~ ((T` x) .ih A) = (x .ih w)) -> (A.x e. H~ ((T` x) .ih A) = (x .ih ((adjh` T)` A)) <-> U.{w e. H~ | A.x e. H~ ((T` x) .ih A) = (x .ih w)} = ((adjh` T)` A)))
9		adjclt 9772	. . . 4 |- ((T e. dom adjh /\ A e. H~) -> ((adjh` T)` A) e. H~)
10	7	rcla4ev 1868	. . . . . . 7 |- ((((adjh` T)` A) e. H~ /\ A.x e. H~ ((T` x) .ih A) = (x .ih ((adjh` T)` A))) -> E.w e. H~ A.x e. H~ ((T` x) .ih A) = (x .ih w))
11	10, 9, 4	sylanc 471	. . . . . 6 |- ((T e. dom adjh /\ A e. H~) -> E.w e. H~ A.x e. H~ ((T` x) .ih A) = (x .ih w))
12		hial2eq2t 8894	. . . . . . . 8 |- ((w e. H~ /\ y e. H~) -> (A.x e. H~ (x .ih w) = (x .ih y) <-> w = y))
13		r19.26 1742	. . . . . . . . 9 |- (A.x e. H~ (((T` x) .ih A) = (x .ih w) /\ ((T` x) .ih A) = (x .ih y)) <-> (A.x e. H~ ((T` x) .ih A) = (x .ih w) /\ A.x e. H~ ((T` x) .ih A) = (x .ih y)))
14		eqtr2t 1485	. . . . . . . . . 10 |- ((((T` x) .ih A) = (x .ih w) /\ ((T` x) .ih A) = (x .ih y)) -> (x .ih w) = (x .ih y))
15	14	r19.20si 1698	. . . . . . . . 9 |- (A.x e. H~ (((T` x) .ih A) = (x .ih w) /\ ((T` x) .ih A) = (x .ih y)) -> A.x e. H~ (x .ih w) = (x .ih y))
16	13, 15	sylbir 201	. . . . . . . 8 |- ((A.x e. H~ ((T` x) .ih A) = (x .ih w) /\ A.x e. H~ ((T` x) .ih A) = (x .ih y)) -> A.x e. H~ (x .ih w) = (x .ih y))
17	12, 16	syl5bi 208	. . . . . . 7 |- ((w e. H~ /\ y e. H~) -> ((A.x e. H~ ((T` x) .ih A) = (x .ih w) /\ A.x e. H~ ((T` x) .ih A) = (x .ih y)) -> w = y))
18	17	rgen2a 1691	. . . . . 6 |- A.w e. H~ A.y e. H~ ((A.x e. H~ ((T` x) .ih A) = (x .ih w) /\ A.x e. H~ ((T` x) .ih A) = (x .ih y)) -> w = y)
19	11, 18	jctir 293	. . . . 5 |- ((T e. dom adjh /\ A e. H~) -> (E.w e. H~ A.x e. H~ ((T` x) .ih A) = (x .ih w) /\ A.w e. H~ A.y e. H~ ((A.x e. H~ ((T` x) .ih A) = (x .ih w) /\ A.x e. H~ ((T` x) .ih A) = (x .ih y)) -> w = y)))
20		opreq2 3954	. . . . . . . 8 |- (w = y -> (x .ih w) = (x .ih y))
21	20	eqeq2d 1478	. . . . . . 7 |- (w = y -> (((T` x) .ih A) = (x .ih w) <-> ((T` x) .ih A) = (x .ih y)))
22	21	ralbidv 1655	. . . . . 6 |- (w = y -> (A.x e. H~ ((T` x) .ih A) = (x .ih w) <-> A.x e. H~ ((T` x) .ih A) = (x .ih y)))
23	22	reu4 1924	. . . . 5 |- (E!w e. H~ A.x e. H~ ((T` x) .ih A) = (x .ih w) <-> (E.w e. H~ A.x e. H~ ((T` x) .ih A) = (x .ih w) /\ A.w e. H~ A.y e. H~ ((A.x e. H~ ((T` x) .ih A) = (x .ih w) /\ A.x e. H~ ((T` x) .ih A) = (x .ih y)) -> w = y)))
24	19, 23	sylibr 200	. . . 4 |- ((T e. dom adjh /\ A e. H~) -> E!w e. H~ A.x e. H~ ((T` x) .ih A) = (x .ih w))
25	8, 9, 24	sylanc 471	. . 3 |- ((T e. dom adjh /\ A e. H~) -> (A.x e. H~ ((T` x) .ih A) = (x .ih ((adjh` T)` A)) <-> U.{w e. H~ | A.x e. H~ ((T` x) .ih A) = (x .ih w)} = ((adjh` T)` A)))
26	4, 25	mpbid 195	. 2 |- ((T e. dom adjh /\ A e. H~) -> U.{w e. H~ | A.x e. H~ ((T` x) .ih A) = (x .ih w)} = ((adjh` T)` A))
27	26	eqcomd 1472	1 |- ((T e. dom adjh /\ A e. H~) -> ((adjh` T)` A) = U.{w e. H~ | A.x e. H~ ((T` x) .ih A) = (x .ih w)})

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  A.wral 1637  E.wrex 1638  E!wreu 1639  {crab 1640  U.cuni 2493  dom cdm 3160  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  H~chil 8727   .ih csp 8732  adj_hcado 8763

This theorem is referenced by:  nmopadjle 9936

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597  ax-hilex 8790  ax-hfvadd 8791  ax-hvcom 8792  ax-hvass 8793  ax-hv0cl 8794  ax-hvaddid 8795  ax-hfvmul 8796  ax-hvmulid 8797  ax-hvdistr2 8800  ax-hvmul0 8801  ax-hfi 8867  ax-his1 8870  ax-his2 8871  ax-his3 8872  ax-his4 8873

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-map 4308  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-hvsub 8779  df-adjh 9692

Copyright terms: Public domain