Theorem adjmult 10025

Description: The adjoint of the scalar product of an operator. Theorem 3.11(ii) of [Beran] p. 106.

Assertion

Ref	Expression
adjmult	|- ((A e. CC /\ T e. dom adjh) -> (adjh` (A .op T)) = ((*` A) .op (adjh` T)))

Proof of Theorem adjmult

Step	Hyp	Ref	Expression
1		adjeqt 9859	. 2 |- (((A .op T):H~-->H~ /\ ((*` A) .op (adjh` T)):H~-->H~ /\ A.x e. H~ A.y e. H~ (((A .op T)` x) .ih y) = (x .ih (((*` A) .op (adjh` T))` y))) -> (adjh` (A .op T)) = ((*` A) .op (adjh` T)))
2		homulclt 9685	. . 3 |- ((A e. CC /\ T:H~-->H~) -> (A .op T):H~-->H~)
3		dmadjopt 9820	. . 3 |- (T e. dom adjh -> T:H~-->H~)
4	2, 3	sylan2 451	. 2 |- ((A e. CC /\ T e. dom adjh) -> (A .op T):H~-->H~)
5		homulclt 9685	. . 3 |- (((*` A) e. CC /\ (adjh` T):H~-->H~) -> ((*` A) .op (adjh` T)):H~-->H~)
6		cjclt 6764	. . 3 |- (A e. CC -> (*` A) e. CC)
7		dmadjrnt 9821	. . . 4 |- (T e. dom adjh -> (adjh` T) e. dom adjh)
8		dmadjopt 9820	. . . 4 |- ((adjh` T) e. dom adjh -> (adjh` T):H~-->H~)
9	7, 8	syl 10	. . 3 |- (T e. dom adjh -> (adjh` T):H~-->H~)
10	5, 6, 9	syl2an 454	. 2 |- ((A e. CC /\ T e. dom adjh) -> ((*` A) .op (adjh` T)):H~-->H~)
11		adj2t 9858	. . . . . . . . 9 |- ((T e. dom adjh /\ x e. H~ /\ y e. H~) -> ((T` x) .ih y) = (x .ih ((adjh` T)` y)))
12	11	3expb 834	. . . . . . . 8 |- ((T e. dom adjh /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> ((T` x) .ih y) = (x .ih ((adjh` T)` y)))
13	12	adantll 392	. . . . . . 7 |- (((A e. CC /\ T e. dom adjh) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> ((T` x) .ih y) = (x .ih ((adjh` T)` y)))
14	13	opreq2d 3976	. . . . . 6 |- (((A e. CC /\ T e. dom adjh) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> (A x. ((T` x) .ih y)) = (A x. (x .ih ((adjh` T)` y))))
15		ax-his3 8951	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. CC /\ (T` x) e. H~ /\ y e. H~) -> ((A .h (T` x)) .ih y) = (A x. ((T` x) .ih y)))
16		ffvelrn 3814	. . . . . . . . . . 11 |- ((T:H~-->H~ /\ x e. H~) -> (T` x) e. H~)
17	16, 3	sylan 448	. . . . . . . . . 10 |- ((T e. dom adjh /\ x e. H~) -> (T` x) e. H~)
18	15, 17	syl3an2 860	. . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ (T e. dom adjh /\ x e. H~) /\ y e. H~) -> ((A .h (T` x)) .ih y) = (A x. ((T` x) .ih y)))
19	18	3exp 832	. . . . . . . 8 |- (A e. CC -> ((T e. dom adjh /\ x e. H~) -> (y e. H~ -> ((A .h (T` x)) .ih y) = (A x. ((T` x) .ih y)))))
20	19	exp3a 375	. . . . . . 7 |- (A e. CC -> (T e. dom adjh -> (x e. H~ -> (y e. H~ -> ((A .h (T` x)) .ih y) = (A x. ((T` x) .ih y))))))
21	20	imp43 370	. . . . . 6 |- (((A e. CC /\ T e. dom adjh) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> ((A .h (T` x)) .ih y) = (A x. ((T` x) .ih y)))
22		his52t 8954	. . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ x e. H~ /\ ((adjh` T)` y) e. H~) -> (x .ih ((*` A) .h ((adjh` T)` y))) = (A x. (x .ih ((adjh` T)` y))))
23		simpll 412	. . . . . . 7 |- (((A e. CC /\ T e. dom adjh) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> A e. CC)
24		simprl 414	. . . . . . 7 |- (((A e. CC /\ T e. dom adjh) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> x e. H~)
25		adjclt 9856	. . . . . . . 8 |- ((T e. dom adjh /\ y e. H~) -> ((adjh` T)` y) e. H~)
26	25	ad2ant2l 408	. . . . . . 7 |- (((A e. CC /\ T e. dom adjh) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> ((adjh` T)` y) e. H~)
27	22, 23, 24, 26	syl3anc 858	. . . . . 6 |- (((A e. CC /\ T e. dom adjh) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> (x .ih ((*` A) .h ((adjh` T)` y))) = (A x. (x .ih ((adjh` T)` y))))
28	14, 21, 27	3eqtr4d 1517	. . . . 5 |- (((A e. CC /\ T e. dom adjh) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> ((A .h (T` x)) .ih y) = (x .ih ((*` A) .h ((adjh` T)` y))))
29		homvalt 9518	. . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ T:H~-->H~ /\ x e. H~) -> ((A .op T)` x) = (A .h (T` x)))
30	29, 3	syl3an2 860	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ T e. dom adjh /\ x e. H~) -> ((A .op T)` x) = (A .h (T` x)))
31	30	3expa 833	. . . . . . 7 |- (((A e. CC /\ T e. dom adjh) /\ x e. H~) -> ((A .op T)` x) = (A .h (T` x)))
32	31	adantrr 395	. . . . . 6 |- (((A e. CC /\ T e. dom adjh) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> ((A .op T)` x) = (A .h (T` x)))
33	32	opreq1d 3975	. . . . 5 |- (((A e. CC /\ T e. dom adjh) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> (((A .op T)` x) .ih y) = ((A .h (T` x)) .ih y))
34		homvalt 9518	. . . . . . . . 9 |- (((*` A) e. CC /\ (adjh` T):H~-->H~ /\ y e. H~) -> (((*` A) .op (adjh` T))` y) = ((*` A) .h ((adjh` T)` y)))
35		id 59	. . . . . . . . 9 |- (y e. H~ -> y e. H~)
36	34, 6, 9, 35	syl3an 868	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ T e. dom adjh /\ y e. H~) -> (((*` A) .op (adjh` T))` y) = ((*` A) .h ((adjh` T)` y)))
37	36	3expa 833	. . . . . . 7 |- (((A e. CC /\ T e. dom adjh) /\ y e. H~) -> (((*` A) .op (adjh` T))` y) = ((*` A) .h ((adjh` T)` y)))
38	37	adantrl 394	. . . . . 6 |- (((A e. CC /\ T e. dom adjh) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> (((*` A) .op (adjh` T))` y) = ((*` A) .h ((adjh` T)` y)))
39	38	opreq2d 3976	. . . . 5 |- (((A e. CC /\ T e. dom adjh) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> (x .ih (((*` A) .op (adjh` T))` y)) = (x .ih ((*` A) .h ((adjh` T)` y))))
40	28, 33, 39	3eqtr4d 1517	. . . 4 |- (((A e. CC /\ T e. dom adjh) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> (((A .op T)` x) .ih y) = (x .ih (((*` A) .op (adjh` T))` y)))
41	40	ex 373	. . 3 |- ((A e. CC /\ T e. dom adjh) -> ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (((A .op T)` x) .ih y) = (x .ih (((*` A) .op (adjh` T))` y))))
42	41	r19.21aivv 1720	. 2 |- ((A e. CC /\ T e. dom adjh) -> A.x e. H~ A.y e. H~ (((A .op T)` x) .ih y) = (x .ih (((*` A) .op (adjh` T))` y)))
43	1, 4, 10, 42	syl3anc 858	1 |- ((A e. CC /\ T e. dom adjh) -> (adjh` (A .op T)) = ((*` A) .op (adjh` T)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  dom cdm 3170  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232   x. cmul 5239  *ccj 6749  H~chil 8788   .h csm 8790   .ih csp 8793   .op chot 8808  adj_hcado 8824

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625  ax-hilex 8869  ax-hfvadd 8870  ax-hvcom 8871  ax-hvass 8872  ax-hv0cl 8873  ax-hvaddid 8874  ax-hfvmul 8875  ax-hvmulid 8876  ax-hvdistr2 8879  ax-hvmul0 8880  ax-hfi 8946  ax-his1 8949  ax-his2 8950  ax-his3 8951  ax-his4 8952

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-map 4324  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040