Theorem adjco 9947

Description: The adjoint of a composition of bounded linear operators. Theorem 3.11(viii) of [Beran] p. 106.

Hypotheses

Ref	Expression
nmoptri.1	|- S e. BndLinOp
nmoptri.2	|- T e. BndLinOp

Assertion

Ref	Expression
adjco	|- (adjh` (S o. T)) = ((adjh` T) o. (adjh` S))

Proof of Theorem adjco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoptri.2	. . . . . . . . 9 |- T e. BndLinOp
2		adjbdlnt 9931	. . . . . . . . 9 |- (T e. BndLinOp -> (adjh` T) e. BndLinOp)
3	1, 2	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (adjh` T) e. BndLinOp
4		bdopft 9706	. . . . . . . 8 |- ((adjh` T) e. BndLinOp -> (adjh` T):H~-->H~)
5	3, 4	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (adjh` T):H~-->H~
6		nmoptri.1	. . . . . . . . 9 |- S e. BndLinOp
7		adjbdlnt 9931	. . . . . . . . 9 |- (S e. BndLinOp -> (adjh` S) e. BndLinOp)
8	6, 7	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (adjh` S) e. BndLinOp
9		bdopft 9706	. . . . . . . 8 |- ((adjh` S) e. BndLinOp -> (adjh` S):H~-->H~)
10	8, 9	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (adjh` S):H~-->H~
11	5, 10	hoco 9607	. . . . . 6 |- (y e. H~ -> (((adjh` T) o. (adjh` S))` y) = ((adjh` T)` ((adjh` S)` y)))
12	11	opreq2d 3961	. . . . 5 |- (y e. H~ -> (x .ih (((adjh` T) o. (adjh` S))` y)) = (x .ih ((adjh` T)` ((adjh` S)` y))))
13	12	adantl 388	. . . 4 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (x .ih (((adjh` T) o. (adjh` S))` y)) = (x .ih ((adjh` T)` ((adjh` S)` y))))
14		bdopft 9706	. . . . . . . . 9 |- (S e. BndLinOp -> S:H~-->H~)
15	6, 14	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- S:H~-->H~
16		bdopft 9706	. . . . . . . . 9 |- (T e. BndLinOp -> T:H~-->H~)
17	1, 16	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- T:H~-->H~
18	15, 17	hoco 9607	. . . . . . 7 |- (x e. H~ -> ((S o. T)` x) = (S` (T` x)))
19	18	opreq1d 3960	. . . . . 6 |- (x e. H~ -> (((S o. T)` x) .ih y) = ((S` (T` x)) .ih y))
20	19	adantr 389	. . . . 5 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (((S o. T)` x) .ih y) = ((S` (T` x)) .ih y))
21		bdopadjt 9930	. . . . . . . 8 |- (S e. BndLinOp -> S e. dom adjh)
22	6, 21	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- S e. dom adjh
23		adj2t 9774	. . . . . . 7 |- ((S e. dom adjh /\ (T` x) e. H~ /\ y e. H~) -> ((S` (T` x)) .ih y) = ((T` x) .ih ((adjh` S)` y)))
24	22, 23	mp3an1 900	. . . . . 6 |- (((T` x) e. H~ /\ y e. H~) -> ((S` (T` x)) .ih y) = ((T` x) .ih ((adjh` S)` y)))
25	17	ffvelrni 3800	. . . . . 6 |- (x e. H~ -> (T` x) e. H~)
26	24, 25	sylan 448	. . . . 5 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> ((S` (T` x)) .ih y) = ((T` x) .ih ((adjh` S)` y)))
27		bdopadjt 9930	. . . . . . . 8 |- (T e. BndLinOp -> T e. dom adjh)
28	1, 27	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- T e. dom adjh
29		adj2t 9774	. . . . . . 7 |- ((T e. dom adjh /\ x e. H~ /\ ((adjh` S)` y) e. H~) -> ((T` x) .ih ((adjh` S)` y)) = (x .ih ((adjh` T)` ((adjh` S)` y))))
30	28, 29	mp3an1 900	. . . . . 6 |- ((x e. H~ /\ ((adjh` S)` y) e. H~) -> ((T` x) .ih ((adjh` S)` y)) = (x .ih ((adjh` T)` ((adjh` S)` y))))
31	10	ffvelrni 3800	. . . . . 6 |- (y e. H~ -> ((adjh` S)` y) e. H~)
32	30, 31	sylan2 451	. . . . 5 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> ((T` x) .ih ((adjh` S)` y)) = (x .ih ((adjh` T)` ((adjh` S)` y))))
33	20, 26, 32	3eqtrd 1503	. . . 4 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (((S o. T)` x) .ih y) = (x .ih ((adjh` T)` ((adjh` S)` y))))
34	6, 1	bdopco 9945	. . . . . 6 |- (S o. T) e. BndLinOp
35		bdopadjt 9930	. . . . . 6 |- ((S o. T) e. BndLinOp -> (S o. T) e. dom adjh)
36	34, 35	ax-mp 7	. . . . 5 |- (S o. T) e. dom adjh
37		adj2t 9774	. . . . 5 |- (((S o. T) e. dom adjh /\ x e. H~ /\ y e. H~) -> (((S o. T)` x) .ih y) = (x .ih ((adjh` (S o. T))` y)))
38	36, 37	mp3an1 900	. . . 4 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (((S o. T)` x) .ih y) = (x .ih ((adjh` (S o. T))` y)))
39	13, 33, 38	3eqtr2rd 1506	. . 3 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (x .ih ((adjh` (S o. T))` y)) = (x .ih (((adjh` T) o. (adjh` S))` y)))
40	39	rgen2a 1691	. 2 |- A.x e. H~ A.y e. H~ (x .ih ((adjh` (S o. T))` y)) = (x .ih (((adjh` T) o. (adjh` S))` y))
41		adjbdlnt 9931	. . . . 5 |- ((S o. T) e. BndLinOp -> (adjh` (S o. T)) e. BndLinOp)
42	34, 41	ax-mp 7	. . . 4 |- (adjh` (S o. T)) e. BndLinOp
43		bdopft 9706	. . . 4 |- ((adjh` (S o. T)) e. BndLinOp -> (adjh` (S o. T)):H~-->H~)
44	42, 43	ax-mp 7	. . 3 |- (adjh` (S o. T)):H~-->H~
45	5, 10	hocof 9609	. . 3 |- ((adjh` T) o. (adjh` S)):H~-->H~
46		hoeq2t 9674	. . 3 |- (((adjh` (S o. T)):H~-->H~ /\ ((adjh` T) o. (adjh` S)):H~-->H~) -> (A.x e. H~ A.y e. H~ (x .ih ((adjh` (S o. T))` y)) = (x .ih (((adjh` T) o. (adjh` S))` y)) <-> (adjh` (S o. T)) = ((adjh` T) o. (adjh` S))))
47	44, 45, 46	mp2an 695	. 2 |- (A.x e. H~ A.y e. H~ (x .ih ((adjh` (S o. T))` y)) = (x .ih (((adjh` T) o. (adjh` S))` y)) <-> (adjh` (S o. T)) = ((adjh` T) o. (adjh` S)))
48	40, 47	mpbi 189	1 |- (adjh` (S o. T)) = ((adjh` T) o. (adjh` S))

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  A.wral 1637  dom cdm 3160   o. ccom 3164  -->wf 3168  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  H~chil 8727   .ih csp 8732  BndLinOpcbo 8756  adj_hcado 8763

This theorem is referenced by:  pjcmmul1 10039

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-reg 4565  ax-inf2 4597  ax-ac 4716  ax-hilex 8790  ax-hfvadd 8791  ax-hvcom 8792  ax-hvass 8793  ax-hv0cl 8794  ax-hvaddid 8795  ax-hfvmul 8796  ax-hvmulid 8797  ax-hvmulass 8798  ax-hvdistr1 8799  ax-hvdistr2 8800  ax-hvmul0 8801  ax-hfi 8867  ax-his1 8870  ax-his2 8871  ax-his3 8872  ax-his4 8873  ax-hcompl 8992

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-iin 2559  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-map 4308  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-r1 4615  df-rank 4616  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-3 5918  df-4 5919  df-n0 6047  df-z 6083  df-fl 6172  df-q 6194  df-seq1 6245  df-shft 6278  df-ioo 6298  df-uz 6350  df-fz 6400  df-seqz 6465  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685  df-clim 6913  df-sum 6918  df-top 7534  df-bases 7536  df-topgen 7537  df-cld 7605  df-ntr 7606  df-cls 7607  df-cn 7694  df-cnp 7695  df-haus 7721  df-met 7732  df-bl 7734  df-opn 7735  df-lm 7860  df-grp 7971  df-gid 7972  df-ginv 7973  df-gdiv 7974  df-abl 8036  df-vc 8102  df-nv 8149  df-va 8152  df-ba 8153  df-sm 8154  df-0v 8155  df-vs 8156  df-nm 8157  df-ims 8158  df-ip 8284  df-lno 8339  df-nmo 8340  df-0o 8342  df-ph 8403  df-hnorm 8776  df-hvsub 8779  df-hlim 8780  df-hcau 8781  df-sh 8997  df-ch 9013  df-oc 9045  df-ch0 9046  df-pj 9152  df-h0op 9591  df-nmop 9682  df-cnop 9683  df-lnop 9684  df-bdop 9685  df-unop 9686  df-hmop 9687  df-nmfn 9688  df-nlfn 9689  df-cnfn 9690  df-lnfn 9691  df-adjh 9692

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